Por que o Spotlight fornece um valor errado para `cos (pi / 2)`?

Como você deve saber, o Spotlight pode fazer matemática simples. Por exemplo, a digitação cos(pi)resultará em -1, como você poderia esperar. Eu apenas digitei cos(pi/2), que deveria ser 0, mas isso me deu -5e-12.

Sim, é provavelmente devido a um erro de arredondamento, mas vamos lá cos(pi/2):! Na minha opinião, isso claramente parece bug. O que você acha?

Isso se deve à falta de precisão do pi e à falta geral de precisão no sistema interno.

pi = 3.1415926536

pi/2 = 1.5707963268 

cos(1.5707963268) = -5.103412e-12

FYI =  5.103412e-12 = 0.000000000005103412 ~ 0 

Sobre a precisão geral do sistema:

3.141592653589793238462643383 = 3.1415926536 

No Python, temos o seguinte:

>>> float("3.141592653589793238462643383")
3.141592653589793

Como podemos ver, há um problema com a precisão, pois ela nem sequer corresponde à representação de flutuação.

Eles não estão armazenando π com precisão incomum de ponto flutuante. Eles estão usando um valor incorreto para π com precisão dupla. Para aproximar 3,1415926536 em binário, são necessários pelo menos 38 bits:

3.14159265359922… > 11.001001000011111101101010100010001001

Observe que 2 ^ -36 é aproximadamente 1,5e-11, o que coincide com o 99 final. O ponto flutuante de precisão dupla tem um significando de 52 bits. Para avaliar cos(pi/2)como -5e-12, a única outra opção possível seria um tipo de 48 bits, o que seria muito estranho.

Perto de 0 e π, onde a derivada é quase zero, cos (θ) não pode ser calculado com muita precisão:

cos(3.1415926536) ≈ -0.999999999999999999999947911

Isso difere de -1 em cerca de 5,2e-23, que é menor que ε para double, então cos(3.1415926536)é calculado exatamente como -1 ... o que está incorreto.

Perto de ± π / 2, a derivada [ -sin (θ) ] é quase ± 1, portanto o erro na entrada se torna a saída.

cos(1.57079632679961) ≈ -4.71338076867830836e-12
cos(1.57079632679962) ≈ -4.72338076867830836e-12
cos(1.57079632680000) ≈ -5.10338076867830836e-12

Por acaso, tenho uma calculadora de TI que exibe um dígito a menos e calcula cos(π/2)como -5.2e-12. No entanto, é muito diferente eletronicamente e foi projetado para fornecer um valor exato para cos(90°).

Suponho que, no Spotlight, cos(pi/2)esteja sendo calculado recuperando um valor para π, convertendo para uma sequência decimal , armazenando-o como o valor binário (exato, racional) 11.001001000011111101101010100010001001000010011101111 (ou 10000), dividindo por 2 e depois subtraindo-o de o valor verdadeiro de π / 2. Você deve descobrir se cos(pi/2 + cos(pi/2))está mais perto de zero (pode ser -2,2e-35).

A multiplicação por uma potência de dois deve afetar apenas o expoente, não o significando. Pode ser possível determinar como o arredondamento é aplicado pela metade ou duplicação repetidas.

É um bug reproduzível na versão 10.9.2 - e um erro de arredondamento de ponto flutuante como esse é bastante típico.

É o valor de pi que está sendo tratado sem precisão suficiente, se eu tivesse que adivinhar.

• cos (999999 * pi) não tem um erro
• cos ((999999 + 1) * pi) tem um erro - provavelmente arredondamento

Eu diria para https://developer.apple.com/bug-reporting/ se você quiser ver o aparelho de correção de bugs da Apple em ação.

Das outras respostas e comentários, fica claro o seguinte:

O fato de você obter um resultado diferente de zero NÃO é um erro, mesmo com uma implementação perfeita do software, você se depararia com os limites dos cálculos de ponto flutuante. No entanto, o erro da ordem de 10 ^ -12 é realmente grande.

Isso NÃO é o culpado pela imprecisão dos números de ponto flutuante. O resultado obtido é exatamente este:

cos(1.5707963268)

Isso pode ser validado usando qualquer pacote de software alternativo. Se você avaliar cos(pi/2)em um desses pacotes, obterá definitivamente um resultado muito mais próximo de zero do que 10 ^ -12.

Para concluir, vejo duas possíveis limitações, uma das quais deve ser aplicada:

1. Pi não é armazenado com precisão suficiente ou pelo menos pi / 2 resulta em precisão insuficiente
2. Porque simplesmente leva precisão insuficiente como entrada

Talvez alguém com acesso ao software possa validar qual deles se aplica.

Atualização Conforme mencionado no comentário, o problema parece ser a precisão da constante pi.

Considerando que -5e-12é um número muito pequeno, esse é um erro de arredondamento.

Eu acho que é a conseqüência do spotlight mostrar mais casas decimais do que as usadas na definição da piconstante ou da série infinita usada para calcular as funções trigonométricas.