De onde veio esta famosa fórmula de precessão planetária?

A seguinte equação (que chamarei de Fórmula Planetária de Precessão, PPF) apareceu famosa em uma publicação de 1915 por Einstein, onde ele indicou como ela poderia ser derivada de sua Teoria Geral da Relatividade (GTR).

$$\epsilon = \frac{24 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}$$

onde é a precessão angular (anômala, não-newtoniana) por órbita, é o eixo semi-principal da órbita, é a velocidade da luz, é o período orbital é a elipticidade da órbita.$\epsilon$$a$$c$$T$$e$

A fórmula PPF prevê com precisão a precessão (anômala, não-newtoniana) de Mercúrio e outros planetas solares.

A fórmula era conhecida nos círculos científicos bem antes de 1915. Por exemplo, Gerber (1898) a derivou de seu próprio modelo (amplamente ridicularizado) de gravidade. No artigo da Internet Gravber de Gerber , está escrito que

Tornou-se uma atividade bastante popular na década de 1890 para os físicos proporem vários potenciais gravitacionais com base na velocidade de propagação finita, a fim de explicar parte ou toda a precessão orbital de Mercúrio. Oppenheim publicou uma revisão dessas propostas em 1895. O resultado típico de tais propostas é um avanço não-newtoniano previsto da perielia orbital por revolução de ...>

$$k\,\frac {\pi\,m}{L \,c^2} = k \frac{4 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}.$$

onde é o reto semi-latus de uma elipse, é uma função da velocidade angular de um planeta em órbita: com e é uma constante que pode ser derivada da teoria.m ω m = a 3 ω 2 ω = 2 π / T $L = a(1 - e^2)$$m$$\omega$$m = a^3 \omega^2$$\omega = 2\pi/T$$k$

Claramente com , obtemos a fórmula PPF dada acima.$k = 6$

Desejo saber de onde vem a expressão . Do artigo, parece vir do artigo de revisão de 28 páginas de Oppenheim, 1895, que é digitalizado aqui . Passei pelas digitalizações deste artigo, mas sem encontrar essa equação explicitamente (o artigo está em alemão, que eu sei muito mal, o Google Translate ajuda um pouco, mas deixa muita ambiguidade). Pode ser que o autor anônimo do artigo tenha extraído a expressão de uma revisão do artigo de Oppenheim ou mesmo dos documentos originais (francês e alemão), mas ele não é contatável. Talvez alguém aqui esteja familiarizado com esta era da história astrofísica e possa me apontar na direção certa?$k\pi m/Lc^2$

Não sei onde essa fórmula foi publicada pela primeira vez na íntegra, mas Oppenheim pelo menos faz algo muito próximo a ela. Primeiro, lembre-se de alguns dos símbolos relevantes em Oppenheim, embora eles sejam bastante comuns: podemos veja que, se massagearmos a notação, a proporcionalidade que estamos procurando é equivalente a:

$$\def\anode{☊}\begin{eqnarray*} k &=& \small\sqrt{G} = \small\text{Gaussian gravitational constant}\\ \anode &=& \small\text{longitude of the ascending node}\\ \omega &=& \small\text{argument of perihelion}\\ \varpi &=& \omega+\anode = \small\text{longitude of perihelion}\\ n &=& \small{k\sqrt{(m_0+m_1)/a^3}} = \small\text{mean motion} \end{eqnarray*}$$ $$\frac{\pi m}{Lc^2} \leadsto \frac{\pi GM}{a(1-e^2)c^2} \leadsto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}\text{.}$$ Como o movimento médio é , onde é o período orbital, que significa que se quisermos falar sobre um avanço no periélio de por órbita, é equivalente a falar sobre um termo no formato Não consigo encontrar onde, se é que há algum lugar , Oppenheim considera o fator ausente de$n\equiv 2\pi/T$$T$ $$\frac{n^3a^2}{c^2} = 2\pi\frac{n^2a^2}{c^2}\frac{1}{T}\text{,}$$ $\delta\varpi \propto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}$ $$\frac{\mathrm{d}\varpi}{\mathrm{d}t} \propto \frac{n^3a^2}{(1-e^2)c^2} = \frac{n^3a^2}{c^2}\left(1+e^2+\mathcal{O}(e^4)\right)\text{.}$$ $(1-e^2)$como pertencendo à precessão anômala, mas por outro lado a fórmula está definitivamente lá. Suspeito que ele use apenas uma aproximação de órbita circular, , porque não é encontrada em nenhum lugar na Sec. IV (teoria de Weber, 1846) e executar seu cálculo (sem ) me fornece por século para Mercúrio, em boa concordância com o resultado declarado de , ao passo que colocar um fator de manualmente dá .$e^2\approx 0$$1-e^2$$\delta\varpi = 13.72''$$\delta\varpi = 13.65''$$(1-e^2)$$\delta\varpi = 14.32''$

Talvez Oppenheim não tenha considerado isso explicitamente e o autor do livro MathPagestenha tomado como óbvio que o fator de excentricidade deveria estar lá. Ou talvez haja um comentário secundário no texto que não vejo; infelizmente, em nenhum lugar sou fluente o suficiente em alemão para entender muito do que está acontecendo.