Introdução

Considere uma sequência de números inteiros f definida da seguinte forma:

1. f (2) = 2
2. Se n é um primo ímpar, então f (n) = (f (n-1) + f (n + 1)) / 2
3. Se n = p · q é composto, então f (n) = f (p) · f (q)

Não é muito difícil perceber que f (n) = n para cada n ≥ 2 e, portanto, calcular f não seria um desafio muito interessante. Vamos mudar a definição: reduza pela metade o primeiro caso e dobre o segundo caso. Temos uma nova sequência g definida da seguinte forma:

1. g (2) = 1
2. Se n é um primo ímpar, então g (n) = g (n-1) + g (n + 1)
3. Se n = p · q é composto, então g (n) = g (p) · g (q)

A tarefa

Sua tarefa é pegar um número inteiro n ≥ 2 como entrada e produzir g (n) como saída. Você não precisa se preocupar com excesso de número inteiro, mas deve poder calcular g (1025) = 81 corretamente, e seu algoritmo deve teoricamente funcionar para entradas arbitrariamente grandes.

Você pode escrever um programa completo ou uma função. A menor contagem de bytes vence.

Exemplo

Afirmei acima que g (1025) = 81 , então vamos calculá-lo manualmente. A fatoração primária de 1025 fornece

1025 = 5*5*41 => g(1025) = g(5)*g(5)*g(41)

Como 41 é primo, obtemos

g(41) = g(40) + g(42)

Em seguida, calculamos as fatorações primárias de 40 e 42 :

40 = 2*2*2*5 => g(40) = g(2)*g(2)*g(2)*g(5) = g(5)
42 = 2*3*7 => g(42) = g(2)*g(3)*g(7) = g(3)*g(7)

Para esses pequenos números primos, obtemos

g(3) = g(2) + g(4) = 1 + 1 = 2
g(5) = g(4) + g(6) = 1 + 2 = 3
g(7) = g(6) + g(8) = 2 + 1 = 3

Isso significa que

g(41) = g(40) + g(42) = g(5) + g(3)*g(7) = 3 + 2*3 = 9

e

g(1025) = g(5)*g(5)*g(41) = 3*3*9 = 81

Casos de teste

Aqui estão os valores de g até 50 .

2 -> 1
3 -> 2
4 -> 1
5 -> 3
6 -> 2
7 -> 3
8 -> 1
9 -> 4
10 -> 3
11 -> 5
12 -> 2
13 -> 5
14 -> 3
15 -> 6
16 -> 1
17 -> 5
18 -> 4
19 -> 7
20 -> 3
21 -> 6
22 -> 5
23 -> 7
24 -> 2
25 -> 9
26 -> 5
27 -> 8
28 -> 3
29 -> 9
30 -> 6
31 -> 7
32 -> 1
33 -> 10
34 -> 5
35 -> 9
36 -> 4
37 -> 11
38 -> 7
39 -> 10
40 -> 3
41 -> 9
42 -> 6
43 -> 11
44 -> 5
45 -> 12
46 -> 7
47 -> 9
48 -> 2
49 -> 9
50 -> 9

Haskell, 69 bytes

x#a|x<3=1|a>x=a#2+(x-1)#2|mod x a<1,a<x=a#2*div x a#2|b<-a+1=x#b
(#2)

Exemplo de uso: (#2) 1025->81

O parâmetro a é contado até que se divida xou alcance x(ou seja, xé primo). É um byte mais curto para testar a > xe adicionar uma condição adicional ( a < x) ao teste do módulo, em vez de testar a == x, porque o primeiro se liga aa x+1, o que ajuda na chamada recursiva. Comparar:

|a==x=(x+1)#2+(x-1)#2|mod x a<1=
|a>x=a#2+(x-1)#2|mod x a<1,a<x=

Gelatina , 18 bytes

‘;’Ñ€Sµ1n2$?
ÆfÇ€P

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Isso é basicamente apenas uma tradução direta da especificação. (Depois de pensar um pouco, suspeito que, se houver uma fórmula fechada para encontrar a sequência, seriam mais bytes do que a abordagem direta.)

Explicação

Temos duas funções recursivas mutuamente. Aqui está a função auxiliar (que calcula g (n) para primo n ):

‘;’Ñ€Sµ1n2$?
           ?  If
        n2$     the input is not equal to 2 (parsed as a group due to $)
      µ       then do all the following (parsed as a group due to µ):
‘;’             Find the list [n+1, n-1];
   р           Call the main program on each element (i.e. [g(n+1),g(n-1)]);
     S          and return the sum of the list (i.e. g(n+1)+g(n-1)).
              Otherwise:
       1        Return 1.

E aqui está o programa principal, que calcula g (n) para qualquer n :

ÆfÇ€P
Æf            Factorize the input into its prime factors;
  ǀ          Call the helper function on each element of that list;
    P         Then take the product.

Claramente, se chamarmos o programa principal em um número primo, tudo será no-op, exceto o Ç, então ele retorna g (n) neste caso. O restante do programa lida com o comportamento do composto n .

JavaScript (ES6), 59 bytes

f=(n,d=2)=>n-2?d<n?n%d?f(n,d+1):f(n/d)*f(d):f(n-1)+f(n+1):1

Teste

f=(n,d=2)=>n-2?d<n?n%d?f(n,d+1):f(n/d)*f(d):f(n-1)+f(n+1):1

// f(2) to f(50)
for(N = 2, list = []; N <= 50; N++) {
  list.push(N + ' -> ' + f(N));
}
console.log(list.join(', '));

// f(1025)
console.log(f(1025));

Python 2, 85 69 bytes

g=lambda n,k=3:(n&~-n<1)or n%k and g(n,k+2)or(g(k+1)+g(k-1))*g(n/k,k)

Gelatina , 13 bytes

Æfḟ2µ‘,’߀€SP

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Como funciona

Æfḟ2µ‘,’߀€SP  Main link. Argument: n

Æf             Yield the array of prime factors of n.
  ḟ2           Remove all occurrences of 2.
    µ          Begin a new, monadic chain. Argument: A (array of odd prime factors)
     ‘         Increment all elements of A.
       ’       Decrement all elements of A.
      ,        Pair; yield [A+1, A-1].
        ߀€    Map the main link over all elements of A+1 and A-1.
           S   Column-wise reduce by addition.
            P  Reduce by multiplication.

Clojure, 126 bytes

(defn t[n](if(= n 2)1(let[a(+(.indexOf(for[b(range 2 n)](mod n b)2)0))](if(> a 1)(*(t(/ n a))(t a))(+(t(dec n))(t(inc n)))))))

Yay! É quase o dobro do tempo que a resposta do Python!

Ungolfed e uma explicação:

(defn trivial [n]
  ; Define the function.
  (if (= n 2) 1
  ; If the number is 2, return 1
    (let [a (+ 2 (.indexOf (for [b (range 2 n)] (mod n b)) 0))]
      ; Let a be the lowest prime factor of n
      (if (> a 1)
        ; The .indexOf function returns -1 if a is a prime, so -1 + 2 = 1.
        ; Checks if a is a prime.
        (* (trivial (/ n a)) (trivial a))
        ; If a is prime, return the trivial(a/n) * trivial(a).
        (+ (trivial (dec n)) (trivial (inc n)))))))
        ; Else, return trivial(n-1) + trivial(n + 1).

Mathematica, 83 bytes

Which[#<4,#-1,PrimeQ@#,Tr[#0/@({#-1,#+1}/2)],0<1,1##&@@#0/@Divisors@#~Part~{2,-2}]&

Função recursiva sem nome de um argumento inteiro positivo, retornando um número inteiro. Não é tão curto assim, no final. Tr[#0/@({#-1,#+1}/2)](no caso em que a entrada é primária) chama a função nos dois membros do par ordenado {(#-1)/2,(#+1)/2}e adiciona os resultados; isso é bom, pois a função tem o mesmo valor em (#-1)/2e #-1, por exemplo. Da mesma forma, 1##&@@#0/@Divisors@#~Part~{2,-2}chama a função no segundo menor divisor #e seu divisor complementar (o segundo maior divisor) e multiplica as respostas juntas.

Clojure, 120 bytes

(defn g[n](if(= n 2)1(if-let[F(first(for[i(range 2 n):when(=(mod n i)0)]i))](*(g F)(g(/ n F)))(+(g(dec n))(g(inc n))))))

Usa :whenpara obter divisores de n, Fé nilse nenhum divisor for encontrado ( né primo).

Python 2 , 62 bytes

f=lambda n,k=3:k>n or n%k and f(n,k+2)or(f(k-1)+f(k+1))*f(n/k)

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