O polinômio característico de uma matriz quadrada A é definido como o polinômio p _A (x) = det ( I x- A ) onde I é a matriz de identidade e det é o determinante . Observe que essa definição sempre nos fornece um polinômio monônico, de modo que a solução é única.

Sua tarefa para esse desafio é calcular os coeficientes do polinômio característico para uma matriz com valor inteiro; para isso, você pode usar built-ins, mas isso é desencorajado.

Regras

• entrada é uma matriz inteira NxN (N ≥ 1) em qualquer formato conveniente
• seu programa / função produzirá / retornará os coeficientes em ordem crescente ou decrescente (especifique qual)
• os coeficientes são normatizados de modo que o coeficiente de x ^N seja 1 (consulte casos de teste)
• você não precisa lidar com entradas inválidas

Casos de teste

Os coeficientes são dados em ordem decrescente (por exemplo, x ^N , x ^N-1 , ..., x ² , x, 1):

[0] -> [1 0]
[1] -> [1 -1]
[1 1; 0 1] -> [1 -2 1]
[80 80; 57 71] -> [1 -151 1120] 
[1 2 0; 2 -3 5; 0 1 1] -> [1 1 -14 12]
[4 2 1 3; 4 -3 9 0; -1 1 0 3; 20 -4 5 20] -> [1 -21 -83 559 -1987]
[0 5 0 12 -3 -6; 6 3 7 16 4 2; 4 0 5 1 13 -2; 12 10 12 -2 1 -6; 16 13 12 -4 7 10; 6 17 0 3 3 -1] -> [1 -12 -484 3249 -7065 -836601 -44200]
[1 0 0 1 0 0 0; 1 1 0 0 1 0 1; 1 1 0 1 1 0 0; 1 1 0 1 1 0 0; 1 1 0 1 1 1 1; 1 1 1 0 1 1 1; 0 1 0 0 0 0 1] -> [1 -6 10 -6 3 -2 0 0]

SageMath , 3 bytes

5 bytes salvos graças ao @Mego

fcp

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Toma um Matrixcomo entrada.

fcpsignifica f actorization do c haracteristic p olynomial,

que é mais curto que o normal embutido charpoly.

Oitava , 16 4 bytes

O @BruteForce acabou de me dizer que uma das funções que eu estava usando na minha solução anterior pode realmente fazer todo o trabalho:

poly

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16 bytes: Esta solução calcula os autovalores da matriz de entrada e depois cria um polinômio a partir das raízes especificadas.

@(x)poly(eig(x))

Mas é claro que também há o chato

charpoly

(precisa de uma symbolicmatriz de tipos no Octave, mas funciona com as matrizes usuais no MATLAB.)

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Pari / GP , 8 bytes

charpoly

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Pari / GP , 14 bytes

m->matdet(x-m)

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R , 53 bytes

function(m){for(i in eigen(m)$va)T=c(0,T)-c(T,0)*i
T}

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Retorna os coeficientes em ordem crescente; ou seja, a_0, a_1, a_2, ..., a_n.

Calcula o polinômio encontrando os autovalores da matriz.

R + pracma , 16 bytes

pracma::charpoly

pracma é a biblioteca "PRACtical MAth" para R e possui algumas funções úteis.

Mathematica, 22 bytes

Det[MatrixExp[0#]x-#]&

-7 bytes de alephalpha
-3 bytes de Misha Lavrov

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e claro...

Mathematica, 29 bytes

#~CharacteristicPolynomial~x&

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ambas as respostas produzem um polinômio

Haskell , 243 223 222 bytes

s=sum
(&)=zip
z=zipWith
a#b=[[s$z(*)x y|y<-foldr(z(:))([]<$b)b]|x<-a]
f a|let c=z pure[1..]a;g(u,d)k|m<-[z(+)a b|(a,b)<-a#u&[[s[d|x==y]|y<-c]|x<-c]]=(m,-s[s[b|(n,b)<-c&a,n==m]|(a,m)<-a#m&c]`div`k)=snd<$>scanl g(0<$c<$c,1)c

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Obrigado a @ ØrjanJohansen por me ajudar a jogar isso!

Explicação

Isso usa o algoritmo Faddeev – LeVerrier para calcular os coeficientes. Aqui está uma versão não destruída com nomes mais detalhados:

-- Transpose a matrix/list
transpose b = foldr (zipWith(:)) (replicate (length b) []) b

-- Matrix-matrix multiplication
(#) :: [[Int]] -> [[Int]] -> [[Int]]
a # b = [[sum $ zipWith (*) x y | y <- transpose b]|x<-a]


-- Faddeev-LeVerrier algorithm
faddeevLeVerrier :: [[Int]] -> [Int]
faddeevLeVerrier a = snd <$> scanl go (zero,1) [1..n]
  where n = length a
        zero = replicate n (replicate n 0)
        trace m = sum [sum [b|(n,b)<-zip [1..n] a,n==m]|(m,a)<-zip [1..n] m]
        diag d = [[sum[d|x==y]|y<-[1..n]]|x<-[1..n]]
        add as bs = [[x+y | (x,y) <- zip a b] | (b,a) <- zip as bs]
        go (u,d) k = (m, -trace (a#m) `div` k)
          where m = add (diag d) (a#u)

_{Nota: tirei isso direto dessa solução}

Python 2 + numpy , 23 bytes

from numpy import*
poly

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MATL , 4 bytes

1$Yn

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Este é apenas um porto da resposta Oitava do flawr , portanto, ele retorna os coeficientes em ordem decrescente, ou seja,[a_n, ..., a_1, a_0]

1$Yn          # 1 input Yn is "poly"

CJam (48 bytes)

{[1\:A_,{1$_,,.=1b\~/A@zf{\f.*1fb}1$Aff*..+}/;]}

Conjunto de testes online

Dissecação

Isso é bastante semelhante à minha resposta ao determinante de uma matriz inteira . Ele tem alguns ajustes porque os sinais são diferentes e porque queremos manter todos os coeficientes, e não apenas o último.

{[              e# Start a block which will return an array
  1\            e#   Push the leading coefficient under the input
  :A            e#   Store the input matrix in A
  _,            e#   Take the length of a copy
  {             e#     for i = 0 to n-1
                e#       Stack: ... AM_{i+1} i
    1$_,,.=1b   e#       Calculate tr(AM_{i+1})
    \~/         e#       Divide by -(i+1)
    A@          e#       Push a copy of A, bring AM_{i+1} to the top
    zf{\f.*1fb} e#       Matrix multiplication
    1$          e#       Get a copy of the coefficient
    Aff*        e#       Multiply by A
    ..+         e#       Matrix addition
  }/
  ;             e#   Pop AM_{n+1} (which incidentally is 0)
]}