Imagine enumerar os elementos do rhombi que crescem [1],[1,3,1],[1,3,5,3,1],…(apenas números ímpares para que eles se alinhem bem). Isso seria da seguinte maneira, observe que você sempre começa a enumerar com 1:

                   01
       1        02 03 04
 1   2 3 4   05 06 07 08 09          …
       5        10 11 12
                   13
(1) (1,3,1)    (1,3,5,3,1)    (1,3,5,7,5,3,1)   …

Agora, se você começar a somar as colunas ( [1],[2],[1,3,5],[4],[5],[2,6,10],…), obterá a sequência de losango . Estes são os 100 primeiros elementos da referida sequência:

1,2,9,4,5,18,35,24,9,10,33,60,91,70,45,16,17,54,95,140,189,154,115,72,25,26,81,140,203,270,341,288,231,170,105,36,37,114,195,280,369,462,559,484,405,322,235,144,49,50,153,260,371,486,605,728,855,754,649,540,427,310,189,64,65,198,335,476,621,770,923,1080,1241,1110,975,836,693,546,395,240,81,82,249,420,595,774,957,1144,1335,1530,1729,1564,1395,1222,1045,864,679,490,297,100

IO

Você é livre para escolher um desses três métodos de entrada / saída (não precisará lidar com entradas inválidas):

• Dado um número inteiro n, o n ésimo elemento nessa sequência (indexado com 0 ou 1, sua escolha)
• Dado um número inteiro n, os primeiros n elementos da sequência
• Imprimir / retornar a sequência indefinidamente

Casos de teste

Consulte os 100 primeiros termos acima, eis alguns exemplos maiores (indexados 1):

101 -> 101
443 -> 1329
1000 -> 49000    
1984 -> 164672
2017 -> 34289
2018 -> 30270
3000 -> 153000

Boneco de neve , 72 bytes

((}1vn2nD#`nPnCdU!*2nM1`nR:#nSNaB#`nS2nMNdE;aM|#NdE2nP+#`nSNdE`|aA#nM*))

Esta é uma sub-rotina que recebe entrada indexada em 1 e retorna a saída correspondente via permavar +.

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((        // begin subroutine
 }        // we'll only need 3 variables - b, e, g
 1vn2nD   // b = 0.5
 #`       // retrieve input and swap, now b = input and e = 0.5
 nP       // power, resulting in b=sqrt(input)
 nC       // ceiling - this gives the index i of the rhombus we want
 dU!*     // keep a copy of i in the permavar ! for later use
 2nM1`nR  // generate the range [1, 2i)
 :        // map the following block over the range...
  #nS     // subtract i, resulting in e.g. [-3 -2 -1 0 1 2 3] for i=4
  NaB     // absolute value - [3 2 1 0 1 2 3]
  #`nS    // subtract from i, giving [1 2 3 4 3 2 1]
  2nMNdE  // double and decrement, [1 3 5 7 5 3 1]
 ;aM      // map
 |        // shove the rhombus columns into g
 #NdE2nP  // b = (i-2)^2
 +#`      // move b into e and replace it with the original input
 nSNdE    // subtract the two and decrement, giving input-(i-2)^2-1
 `|aA     // this is the index into the rhombus columns that we want
 #nM*     // multiply by the original input and return
))

Isso usa basicamente o mesmo algoritmo da resposta do Sr. Xcoder - a única diferença é que aqui apenas geramos as colunas do losango de que precisamos, que é o teto (sqrt (n)). Para ilustrar por que isso funciona, aqui estão as entradas que correspondem a cada losango:

rhombus #   inputs
1           1
2           2 3 4
3           5 6 7 8 9
4           10 11 12 13 14 15 16
...

Observe que a coluna da esquerda corresponde exatamente ao teto da raiz quadrada de cada elemento na coluna da direita. Para obter o índice baseado em 1 a partir daqui, basta subtrair o quadrado do índice do losango anterior.

Gelatina , 10 bytes

Ḥ€€’ŒBFị@×

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Uma ligação completo programa / monadic retornando o N ° prazo (1-indexado).

Percebi que cada soma é o índice dessa coluna na lista geral de colunas (a própria entrada) multiplicada pelo índice dessa coluna no Rhombus correspondente, portanto, não é necessário gerar as linhas.

Quão?

Full €€ 'ịBFị @ × ~ Programa completo. Vou chamar a entrada N.

  € ~ Para cada número inteiro X no intervalo [1, N].
Double € ~ Dobre cada número inteiro no intervalo [1, X].
   '~ Decremento (subtrair 1).
    B ~ Bounce (elemento a elemento). Palindromize cada um.
      F ~ Achatar.
       Get @ ~ Obtenha o elemento no índice N da nossa lista.
         × ~ Multiplique por N.

JavaScript (ES7), 42 41 bytes

Guardado 1 byte graças a @ovs

Indexado a 0. Uma expressão de forma fechada derivada de A004737 .

n=>((k=n**.5|0)-Math.abs(n+k*~k))*2*++n+n

Casos de teste

let f =

n=>((k=n**.5|0)-Math.abs(n+k*~k))*2*++n+n

console.log(f(101-1))  // 101
console.log(f(443-1))  // 1329
console.log(f(1000-1)) // 49000    
console.log(f(1984-1)) // 164672
console.log(f(2017-1)) // 34289
console.log(f(2018-1)) // 30270
console.log(f(3000-1)) // 153000

Befunge, 62 60 bytes

&:1>:00p:*`|
00:-\*:g00:<>2-\-0v!`\g
*.@v+1<g00:<^*2g00_2*1+

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Explicação

Começamos lendo o número do elemento de base única, n , de stdin e salvando uma duplicata.
Então, determinamos em que losango estamos, contando um número inteiro, r , até r*r >= n.
O deslocamento da coluna do lado direito do losango, c , é r*r - n.
Para que esse deslocamento seja refletido em torno do eixo central, verificamos se c >= r.
E se for, então o c refletido se torna r*2 - 2 - c.
Depois de termos c refletido , a soma da coluna é simples (c*2 + 1) * n.

APL (Dyalog) , 18 bytes

{⍵×2×⌊/|⍵-.5+×⍨⍳⍵}

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Geléia , 8 bytes

_.ạ²€ṂḤ×

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Como funciona

_.ạ²€ṂḤ×  Main link. Argument: n

_.        Subtract 0.5; yield (n - 0.5).
   ²€     Square each; yield [1², 2², ..., n²].
  ạ       Take the absolute differences of (n - 0.5) and each of the squares.
     Ṃ    Take the minimum.
      Ḥ   Unhalve; double the minimum.
       ×  Multiply the result by n.