Encontre uma sequência de trocas maximamente lucrativa, dada uma tabela de taxas de câmbio.

Como exemplo, considere as moedas A riary (sua moeda local), B aht, C edi e D enar em que a taxa de uma para outra (após a cobrança de qualquer taxa de transação) é dada pela entrada (linha, coluna) em a tabela de taxas de câmbio abaixo:

                       TO
       A          B          C          D

   A   0.9999     1.719828   4.509549   0.709929

F  B   0.579942   0.9999     2.619738   0.409959
R
O  C   0.219978   0.379962   0.9999     0.149985
M
   D   1.39986    2.429757   6.409359   0.9999

Obviamente, trocar A por A não é uma boa ideia, pois esta mesa o cobrará com prazer por não fazer nada.

Menos obviamente, mas é verdade com esta tabela, trocar A por qualquer outra moeda e depois trocar novamente é um causador de perdas:

via B: 1.719828 × 0.579942 = 0.997400489976
via C: 4.509549 × 0.219978 = 0.992001569922
via D: 0.709929 × 1.39986  = 0.99380120994

No entanto, a troca de A para D , de D para B e de B para A gera lucro (dado capital suficiente para não sucumbir ao arredondamento):

0.709929 × 2.429757 × 0.579942 = 1.0003738278192194

Pode-se repetidamente tomar esse "almoço grátis" enquanto a oportunidade existe.

Mas existe uma cadeia ainda mais atraente aqui, A a D , D a C , C a B e, finalmente, B de volta a A :

0.709929 × 6.409359 × 0.379962 × 0.579942 = 1.0026612752037345

Detalhes do Desafio

Dada uma tabela de taxa de câmbio em qualquer formato razoável, que fixa o significado da casa da moeda (por exemplo, 1 ^st linha e 1 ^st coluna são sempre os home-moeda)
(ou dado tal tabela e um índice de home-moeda)
encontrar um * sequência máxima de arbitragem de trocas começando e terminando com a moeda local como índices na lista de moedas sem repetir o uso de qualquer troca (ou seja, uma troca Y-> X pode seguir uma X-> Y, mas uma X-> Y não pode siga um X-> Y).

Se não existir essa oportunidade lucrativa, produza uma lista vazia ou algum outro resultado não confundível com uma oportunidade identificada.
- por exemplo, para o exemplo acima ( A-> D, D-> C, C-> B, B-> A ):

• usando a indexação 0, pode-se retornar [[0,3],[3,2],[2,1],[1,0]]ou[0,3,2,1,0]
• usando a indexação 1, um pode retornar [[1,4],[4,3],[3,2],[2,1]]ou[1,4,3,2,1]

Outros formatos são bons, desde que não haja ambiguidade.
- Uma coisa a observar é que é possível que a melhor oportunidade seja uma única transação de casa-> casa (uma mesa tola). Se você optar por excluir o índice da moeda local das duas extremidades da opção fixa acima ( [3,2,1]ou seja [4,3,2]) e uma lista vazia para "sem oportunidade", verifique se a casa-> casa também não é uma lista vazia.

* Se existirem várias oportunidades válidas igualmente lucrativas, retorne qualquer uma delas, algumas delas ou todas.

^{O algoritmo Bellman-Ford é uma maneira de abordar isso, mas provavelmente não é o mais adequado para o golfe.}

Casos de teste

As entradas mostradas estão no arranjo usado no exemplo, e os resultados mostrados usam a indexação 0 para listar os índices de moeda (quando existe uma oportunidade, a moeda local fica apenas no final da trilha; nenhuma oportunidade é uma lista vazia).

[[0.999900, 1.719828, 4.509549, 0.709929],
 [0.579942, 0.999900, 2.619738, 0.409959],
 [0.219978, 0.379962, 0.999900, 0.149985],
 [1.399860, 2.429757, 6.409359, 0.999900]]  ->  [3, 2, 1, 0]

[[0.9999, 1.5645, 0.9048, 1.0929],
 [0.6382, 0.9999, 0.5790, 0.6998],
 [1.1051, 1.7269, 0.9999, 1.2087],
 [0.9131, 1.4288, 0.8262, 0.9999]]  ->  [1, 2, 0]

[[0.9999, 1.4288, 0.8262, 0.9131],
 [0.6998, 0.9999, 0.5790, 0.6382],
 [1.2087, 1.7269, 0.9999, 1.1051],
 [1.0929, 1.5645, 0.9048, 0.9999]]  ->  [1, 2, 3, 1, 0]

[[1.002662, 1.719828, 4.509549, 0.709929],
 [0.579942, 0.999900, 2.619738, 0.409959],
 [0.219978, 0.379962, 0.999900, 0.149985],
 [1.399860, 2.429757, 6.409359, 0.999900]]  ->  [3, 2, 1, 0, 0]

[[1.002662, 1.719828, 4.509549, 0.709929],
 [0.579942, 1.002604, 2.619738, 0.409959],
 [0.219978, 0.379962, 1.003000, 0.149985],
 [1.399860, 2.429757, 6.409359, 1.002244]]  ->  [3, 3, 2, 2, 1, 1, 0, 0]

[[0.9999, 1.4288, 0.8262, 0.9131],
 [0.6998, 0.9999, 0.5790, 0.6382],
 [1.2087, 1.7269, 1.0001, 1.1051],
 [1.0929, 1.4974, 0.9048, 0.9999]]  ->  [1, 2, 2, 0]

[[0.9999, 1.3262, 0.7262, 0.9131],
 [0.6998, 0.9999, 0.5490, 0.6382],
 [1.2087, 1.7269, 0.9999, 1.2051],
 [1.0929, 1.5645, 0.9048, 0.9999]]  ->  [3, 2, 3, 1, 0]

[[0.9999, 1.5645, 0.9048, 0.5790],
 [0.6382, 0.9999, 0.5790, 0.3585],
 [1.1051, 1.7269, 0.9999, 0.6391],
 [1.7271, 2.6992, 1.5645, 0.9999]]  ->  [1, 2, 0]  and/or  [3, 2, 0]

[[0.9999, 1.2645, 0.7048, 0.3790],
 [0.4382, 0.9999, 0.3790, 0.1585],
 [1.0001, 1.5269, 1.0001, 0.4391],
 [1.5271, 2.4992, 1.3645, 0.9999]]  ->  []

[[0.9999, 1.2645, 0.7048, 0.3790],
 [0.4382, 0.9999, 0.3790, 0.1585],
 [0.9999, 1.5269, 1.4190, 0.4391],
 [1.5271, 2.4992, 1.3645, 0.9999]]  ->  [2, 2, 0]

Este é o código-golfe, por isso vence a solução mais curta em bytes, mas a competição também deve ser feita dentro do idioma; portanto, não deixe que os idiomas de código-golfe o impeçam de enviar o seu favorito!

JavaScript (ES6), 122 113 103 bytes

Recebe entrada como uma matriz transposta em relação ao formato descrito no desafio. Retorna uma string descrevendo as trocas em (from,to)formato.

a=>(g=(s,x=b=0,h='')=>a.map((r,y)=>~h.search(k=`(${x},${y})`)||g(s*r[x],y,h+k),x|s<b||(b=s,p=h)))(1)&&p

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Comentado

a => (                  // given the exchange rate matrix a[][]
  g = (                 // g = recursive function taking:
    s,                  //   s = current amount of money
    x = b = 0,          //   x = ID of current currency, b = best result so far
    h = ''              //   h = exchange history, as a string
  ) =>                  //  
  a.map((r, y) =>       // for each row at position y in a[]:
    ~h.search(          //   if we can't find in h ...
      k = `(${x},${y})` //     ... the exchange key k from currency x to currency y
    ) ||                //   then:
    g(                  //   do a recursive call to g() with:
      s * r[x],         //     s = new amount obtained by applying the exchange rate
      y,                //     x = y
      h + k             //     h = h + k
    ),                  //   end of recursive call
    x | s < b ||        //   if x is our home currency and s is greater than or equal to b
    (b = s, p = h)      //   then set b to s and set p to h
  )                     // end of map()
)(1)                    // initial call to g() with s = 1
&& p                    // return p

Python 2 , 143 125 124 bytes

lambda M:g(M)[1]
g=lambda M,s=[],p=1,x=0:max([(p,s)]*-~-x+[g(M,s+[(x,y)],p*M[x][y],y)for y in range(len(M))if(x,y)not in s])

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Usa indexação baseada em 0 (0 é a moeda local); retorna uma lista de tuplas das trocas que produzem o pagamento máximo.

A abordagem é a força bruta: por meio da recursão, acabamos visitando todos os caminhos que não repetem a borda que começam em 0(por nser o número de moedas, isso fornece uma profundidade máxima de n^2). Para o subconjunto desses caminhos que também termina com '0', maximizamos o retorno.

Haskell, 175 bytes

e?l|e`elem`l=0|2>1=1
w[]=[]
w l=[maximum l];0!q=[q]
n!c@(v,i,(h,l))=do{j<-[0..3];c:((n-1)!(v*l!!i!!j*(i,j)?h,j,((i,j):h,l)))}
z l=w$filter(\(v,e,_)->v>1&&e==0)$12!(1,0,([],l))

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