Antecedentes: o número de Ramsey $R(r,s)$ fornece o número mínimo de vértices $v$ no gráfico completo $K_v$ modo que uma coloração de borda vermelha / azul de $K_v$ tenha pelo menos um vermelho $K_r$ou um azul $K_s$. Limites para maiores $r, s$são muito difíceis de estabelecer.

Sua tarefa é gerar o número $R(r,s)$ para $1 \le r,s \le 5$ .

Entrada

Dois inteiros $r, s$ com $1 \le r \le 5$ e $1 \le s \le 5$ .

Resultado

$R(r,s)$ conforme indicado nesta tabela:

  s   1    2    3    4      5
r +--------------------------
1 |   1    1    1    1      1
2 |   1    2    3    4      5
3 |   1    3    6    9     14
4 |   1    4    9   18     25
5 |   1    5   14   25  43-48

Observe que $r$ e $s$ são intercambiáveis: $R(r,s) = R(s,r)$ .

Para você pode gerar qualquer número inteiro entre 43 e 48 , inclusive. No momento em que esta pergunta foi publicada, esses são os limites mais conhecidos.$R(5,5)$$43$$48$

JavaScript (ES6), 51 49 bytes

Recebe entrada na sintaxe de currying (r)(s).

r=>s=>--r*--s+[9,1,,13,2,,3,27,6][r<2|s<2||r*s%9]

Experimente online!

Quão?

Como primeira aproximação, usamos a fórmula:

 0  0  0  0  0
 0  1  2  3  4
 0  2  4  6  8
 0  3  6  9 12
 0  4  8 12 16

Se tivermos , basta adicionar 1 :$\min(r,s)<3$$1$

 1  1  1  1  1
 1  2  3  4  5
 1  3  -  -  -
 1  4  -  -  -
 1  5  -  -  -

Caso contrário, adicionamos um valor escolhido em uma tabela de pesquisa cuja chave é definida por:$k$

 k:                    table[k]:           (r-1)(s-1):         output:
 -  -  -  -  -         -  -  -  -  -       -  -  -  -  -       -  -  -  -  -
 -  -  -  -  -         -  -  -  -  -       -  -  -  -  -       -  -  -  -  -
 -  -  4  6  8   -->   -  -  2  3  6   +   -  -  4  6  8   =   -  -  6  9 14
 -  -  6  0  3         -  -  3  9 13       -  -  6  9 12       -  -  9 18 25
 -  -  8  3  7         -  -  6 13 27       -  -  8 12 16       -  - 14 25 43

JavaScript (Node.js) , 56 55 bytes

f=(x,y)=>x<2|y<2||f(x,y-1)+f(x-1,y)-(x*y==12)-7*(x+y>8)

Experimente online! Notei que a tabela se assemelha ao triângulo de Pascal, mas com fatores de correção. Editar: salvou 1 byte graças a @sundar.

Geléia ,  17  16 bytes

’ScḢƊ_:¥9“ ı?0‘y

Experimente online! Ou veja uma suíte de testes .

Substituir o 0com +, ,, -, ., ou /ao conjunto igual a 43 , 44 , 45 , 46 , ou 47 , respectivamente, (em vez de a 48 aqui).$R(5,5)$$43$$44$$45$$46$$47$$48$

Quão?

Como podemos encontrar que:$R(r,s)\leq R(r-1,s)+R(r,s-1)$

Isso é ’ScḢƊe produziria:

 1  1  1  1  1
 1  2  3  4  5
 1  3  6 10 15
 1  4 10 20 35
 1  5 15 35 70

Se subtrairmos um para cada vez que nove entrarem no resultado, alinharemos mais três com nosso objetivo (isso é alcançado com _:¥9):

 1  1  1  1  1
 1  2  3  4  5
 1  3  6  9 14
 1  4  9 18 32
 1  5 14 32 63

Os dois valores incorretos restantes, e 63, podem ser traduzidos usando o átomo de Jelly e os índices da página de código com .$32$$63$y“ ı?0‘y

’ScḢƊ_:¥9“ ı?0‘y - Link: list of integers [r, s]
’                - decrement              [r-1, s-1]
    Ɗ            - last 3 links as a monad i.e. f([r-1, s-1]):
 S               -   sum                  r-1+s-1 = r+s-2
   Ḣ             -   head                 r-1
  c              -   binomial             r+s-2 choose r-1
        9        - literal nine
       ¥         - last 2 links as a dyad i.e. f(r+s-2 choose r-1, 9):
      :          -   integer division     (r+s-2 choose r-1)//9
     _           -   subtract             (r+s-2 choose r-1)-((r+s-2 choose r-1)//9)
         “ ı?0‘  - code-page index list   [32,25,63,48]
               y - translate              change 32->25 and 63->48

Python 2 , 62 bytes

def f(c):M=max(c);u=M<5;print[48,25-u*7,3*M+~u-u,M,1][-min(c)]

Experimente online!

Python 2 , 63 bytes

def f(c):M=max(c);print[48,M%2*7+18,3*~-M+2*(M>4),M,1][-min(c)]

Experimente online!

Isso é ridículo, em breve me arrependo de ter postado isso ... Mas eh, ¯ \ _ (ツ) _ / ¯. Raspou 1 byte graças ao nosso tipo Jonathan Allan :). Provavelmente será superado em cerca de 20 bytes em breve ...

Julia 0.6 , 71 61 59 57 bytes

A->((r,s)=sort(A);r<3?s^~-r:3r+(s^2-4s+3)*((r==s)+r-2)-3)

Experimente online!

Ungolfed (bem, um pouco mais legível):

function f_(A)
  (r, s) = sort(A)

  if r < 3
    result = s^(r-1)
  else
    result = 3*r + 
               (s^2 - 4*s + 3) * ((r == s) + r - 2) -
               3
  end

  return result
end

O que isso faz?

Recebe a entrada como uma matriz Acontendo re es. Descompacta a matriz em re es com o número menor como r, usando(r,s)=sort(A) .

$s^{r - 1}$$s^0 = 1$$s^1 = s$
r<3?s^(r-1)r<3?s^~-r

Para os outros, comecei percebendo que a saída é:

• $2\times3 + [0, 3, 8]$
• $2\times4 + \ \ [10, 17]$ (para s = 4, 5 respectivamente)
• $2\times5 + \ \ \ \ \ [35]$

(Inicialmente trabalhei com f (5,5) = 45 por conveniência.)

Parecia um padrão potencialmente utilizável - todos eles têm 2rem comum, 17 é 8 * 2 + 1, 35 é 17 * 2 + 1, 10 é 3 * 3 + 1. Comecei com a extração do valor base de [0, 3, 8], pois [0 3 8][s-2](mais tarde isso se tornou mais curto (s^2-4s+3)).

A tentativa de obter valores corretos para r = 3, 4 e 5 com isso passou por vários estágios, incluindo

2r+[0 3 8][s-2]*(r>3?3-s+r:1)+(r-3)^3+(r>4?1:0)

e

2r+(v=[0 3 8][s-2])+(r-3)*(v+1)+(r==s)v

Expandir o último e simplificá-lo levou ao código publicado.

x86, 49 37 bytes

Não é muito otimizado, apenas explorando as propriedades das três primeiras linhas da tabela. Enquanto escrevia isso, percebi que o código é basicamente uma tabela de salto, portanto uma tabela de salto poderia salvar muitos bytes. Entrada eaxe ebxsaída em eax.

-12 combinando casos de r >= 3em uma tabela de pesquisa (originalmente apenas r >= 4) e usando a sugestão de Peter Cordes de cmp/ jae/ jnecom os sinalizadores ainda configurados para que r1,r2,r3sejam distinguidos por apenas um cmp! Também indexando na tabela de maneira inteligente usando um deslocamento constante.

start:
        cmp     %ebx, %eax
        jbe     r1
        xchg    %eax, %ebx              # ensure r <= s

r1:
        cmp     $2, %al             
        jae     r2                      # if r == 1: ret r
        ret

r2:     
        jne     r3                      # if r == 2: ret s 
        mov     %ebx, %eax
        ret

r3:
        mov     table-6(%ebx,%eax),%al  # use r+s-6 as index
        sub     %al, %bl                # temp = s - table_val
        cmp     $-10, %bl               # equal if s == 4, table_val == 14
        jne     exit
        add     $4, %al                 # ret 18 instead of 14 

exit:
        ret                        

table:
        .byte   6, 9, 14, 25, 43

Hexdump

00000507  39 d8 76 01 93 3c 02 73  01 c3 75 03 89 d8 c3 8a  |9.v..<.s..u.....|
00000517  84 03 21 05 00 00 28 c3  80 fb f6 75 02 04 04 c3  |..!...(....u....|
00000527  06 09 0e 19 2b                                    |....+|

Python 2 , 70 bytes

f=lambda R,S:R<=S and[1,S,[6,9,14][S-3],[18,25][S&1],45][R-1]or f(S,R)

Experimente online!

MATL, 25 21 bytes

+2-lGqXnt8/k-t20/k6*-

Experimente no MATL Online

Tente portar a resposta Jelly de Jonathan Allan para o MATL.

+2-lGqXn - o mesmo que a resposta: calcular $\binom{r+s-2}{r-1}$

t8/k - duplicar isso, dividir por 8 e andar

- - subtraia isso do resultado anterior (subtraímos quantas vezes 8 vai no número, em vez de 9 na resposta Jelly. O resultado é o mesmo para todos, exceto os 35 e 70, que aqui dão 31 e 62.)

t20/k - duplique esse resultado também, divida-o por 20 e reduza (dá 0 para resultados já corretos, 1 para 31, 3 para 62)

6* - multiplique isso por 6

- - subtraia isso do resultado (31 - 6 = 25, 62 - 18 = 44)

Mais velho:

+t2-lGqXntb9<Q3w^/k-t20>+

Experimente no MATL Online

Python 3 , 74 bytes

lambda *a:[[1]*5,[2,3,4,5],[6,9,14],[18,25],[43]][min(a)-1][max(a)-min(a)]

Experimente online!

Próton , 52 bytes

Near-port da minha resposta Python .

c=>[48,(M=max(c))%2*7+18,3*M-(M>4?1:3),M,1][-min(c)]

Experimente online!

Java 8, 62 bytes

(r,s)->--r*--s+new int[]{9,1,0,13,2,0,3,27,6}[r<2|s<2?1:r*s%9]

Função Lambda, porta da resposta JavaScript de Arnauld . Experimente online aqui .

Java, 83 bytes

int f(int x,int y){return x<2|y<2?1:f(x,y-1)+f(x-1,y)-(x*y==12?1:0)-7*(x+y>8?1:0);}

Função recursiva, porta da resposta JavaScript de Neil . Experimente online aqui .

C (gcc), 57 bytes

f(x,y){x=x<2|y<2?:f(x,y-1)+f(x-1,y)-(x*y==12)-7*(x+y>8);}

Função recursiva, porta da resposta JavaScript de Neil . Experimente online aqui .

C (gcc), 63 bytes

f(r,s){r=--r*--s+(int[]){9,1,0,13,2,0,3,27,6}[r<2|s<2?:r*s%9];}

Resposta JavaScript do Port of Arnauld . Experimente online aqui .