Definições

Resíduos quadráticos

Um número inteiro é chamado de módulo quadrático de resíduos se existir um número inteiro x tal que:$r$$n$$x$

$$x^2\equiv r \pmod n$$

O conjunto de resíduos quadráticos módulo $n$ pode ser simplesmente calculado observando os resultados de $x^2 \bmod n$ para $0 \le x \le \lfloor n/2\rfloor$ .

A sequência do desafio

Definimos $a_n$ como o número mínimo de ocorrências do mesmo valor $(r_0-r_1+n) \bmod n$ para todos os pares $(r_0,r_1)$ dos resíduos quadráticos módulo $n$ .

Os primeiros 30 termos são:

$$1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 4, 1, 1, 4, 2, 5, 1, 2, 6, 6, 1, 2, 6, 2, 2, 7, 2$$

Este é o A316975 (enviado por mim).

Exemplo: $n=10$

Os resíduos quadráticos do módulo $10$ são $0$ , $1$ , $4$ , $5$ , $6$ e $9$ .

Para cada par $(r_0,r_1)$ desses resíduos quadráticos, calculamos $(r_0-r_1+10) \bmod 10$ , o que leva à tabela a seguir (onde $r_0$ está à esquerda e $r_1$ está no topo):

$$\begin{array}{c|cccccc} & 0 & 1 & 4 & 5 & 6 & 9\\ \hline 0 & 0 & 9 & 6 & 5 & 4 & 1\\ 1 & 1 & 0 & \color{blue}7 & 6 & 5 & \color{green}2\\ 4 & 4 & \color{magenta}3 & 0 & 9 & \color{red}8 & 5\\ 5 & 5 & 4 & 1 & 0 & 9 & 6\\ 6 & 6 & 5 & \color{green}2 & 1 & 0 & \color{blue}7\\ 9 & 9 & \color{red}8 & 5 & 4 & \color{magenta}3 & 0 \end{array}$$

O número mínimo de ocorrências do mesmo valor na tabela acima é (para , , e ). Portanto .$2$$\color{green}2$$\color{magenta}3$$\color{blue}7$$\color{red}8$$a_{10}=2$

Sua tarefa

• Você pode:

  • pegue um número inteiro e imprima ou retorne (indexado 0 ou indexado 1)$n$$a_n$
  • pegue um número inteiro e imprima ou retorne os primeiros termos da sequência$n$$n$
  • não aceite nenhuma entrada e imprima a sequência para sempre
• Seu código deve ser capaz de processar qualquer um dos 50 primeiros valores da sequência em menos de 1 minuto.
• Com tempo e memória suficientes, seu código deve funcionar teoricamente para qualquer número inteiro positivo suportado pelo seu idioma.
• Isso é código-golfe .

MATL , 14 bytes

:UG\u&-G\8#uX<

Experimente online! Ou verifique os 30 primeiros valores .

Explicação

:      % Implicit input. Range
U      % Square, element-wise
G      % Push input again
\      % Modulo, element-wise
u      % Unique elements
&-     % Table of pair-wise differences
G      % Push input
\      % Modulo, element-wise
8#u    % Number of occurrences of each element
X<     % Minimum. Implicit display

Japonês -g , 22 20 bytes

Passamos muito tempo a descobrir qual era realmente o desafio e o tempo acabou para continuar a jogar golfe: \

Gera o nth th termo na sequência. Começa a lutar quando a entrada >900.

õ_²uUÃâ ïÍmuU
£è¥XÃn

Experimente ou verifique os resultados de 0 a 50

---

Explicação

                  :Implicit input of integer U
õ                 :Range [1,U]
 _                :Map
  ²               :  Square
   uU             :  Modulo U
     Ã            :End map
      â           :Deduplicate
        ï         :Cartesian product of the resulting array with itself
         Í        :Reduce each pair by subtraction
          m       :Map
           uU     :  Absolute value of modulo U
\n                :Reassign to U
£                 :Map each X
 è                :  Count the elements in U that are
  ¥X              :   Equal to X
    Ã             :End map
     n            :Sort
                  :Implicitly output the first element in the array

Geléia ,  13  10 bytes

-1 graças a Dennis (forçando a interpretação diádica com uma liderança ð)
-2 mais também graças a Dennis (como os pares podem ser duplicados, podemos evitar a Re a 2)

ðp²%QI%ĠẈṂ

Um link monádico que aceita um número inteiro positivo que produz um número inteiro não negativo.

Experimente online! Ou veja os 50 primeiros termos .

Quão?

ðp²%QI%ĠẈṂ - Link: integer, n                   e.g. 6
ð          - start a new dyadic chain - i.e. f(Left=n, Right=n)
 p         - Cartesian product of (implicit ranges)  [[1,1],[1,2],[1,3],[1,4],[1,5],[1,6],[2,1],[2,2],[2,3],[2,4],[2,5],[2,6],[3,1],[3,2],[3,3],[3,4],[3,5],[3,6],[4,1],[4,2],[4,3],[4,4],[4,5],[4,6],[5,1],[5,2],[5,3],[5,4],[5,5],[5,6],[6,1],[6,2],[6,3],[6,4],[6,5],[6,6]]
  ²        - square (vectorises)                     [[1,1],[1,4],[1,9],[1,16],[1,25],[1,36],[4,1],[4,4],[4,9],[4,16],[4,25],[4,36],[9,1],[9,4],[9,9],[9,16],[9,25],[9,36],[16,1],[16,4],[16,9],[16,16],[16,25],[16,36],[25,1],[25,4],[25,9],[25,16],[25,25],[25,36],[36,1],[36,4],[36,9],[36,16],[36,25],[36,36]]
   %       - modulo (by Right) (vectorises)          [[1,1],[1,4],[1,3],[1,4],[1,1],[1,0],[4,1],[4,4],[4,3],[4,4],[4,1],[4,0],[3,1],[3,4],[3,3],[3,4],[3,1],[3,0],[4,1],[4,4],[4,3],[4,4],[4,1],[4,0],[1,1],[1,4],[1,3],[1,4],[1,1],[1,0],[0,1],[0,4],[0,3],[0,4],[0,1],[0,0]]
    Q      - de-duplicate                            [[1,1],[1,4],[1,3],[1,0],[4,1],[4,4],[4,3],[4,0],[3,1],[3,4],[3,3],[3,0],[0,1],[0,4],[0,3],[0,0]]
     I     - incremental differences (vectorises)    [0,3,2,-1,-3,0,-1,-4,-2,1,0,-3,1,4,3,0]
      %    - modulo (by Right) (vectorises)          [0,3,2,5,3,0,5,2,4,1,0,3,1,4,3,0]
       Ġ   - group indices by value                  [[1,6,11,16],[10,13],[3,8],[2,5,12,15],[9,14],[4,7]]
        Ẉ  - length of each                          [3,2,2,4,2,2]
         Ṃ - minimum                                 2

05AB1E , 22 20 15 13 bytes

LnI%êãÆI%D.m¢

-2 bytes graças a @Mr. Xcoder .

Experimente online ou verifique os primeiros 99 casos de teste (em cerca de 3 segundos) . (OBSERVAÇÃO: A versão herdada do Python é usada no TIO em vez da nova reescrita do Elixir. É cerca de 10x mais rápida, mas requer um trailing ¬(head) porque .mretorna uma lista em vez de um único item, que eu adicionei ao rodapé.)

Explicação:

L       # Create a list in the range [1, (implicit) input]
 n      # Square each
  I%    # And then modulo each with the input
    ê   # Sort and uniquify the result (faster than just uniquify apparently)
 ã      # Create pairs (cartesian product with itself)
  Æ     # Get the differences between each pair
   I%   # And then modulo each with the input
D.m     # Take the least frequent number (numbers in the legacy version)
   ¢    # Take the count it (or all the numbers in the legacy version, which are all the same)
        # (and output it implicitly)

C (gcc) , 202 200 190 188 188 187 186 bytes

• Economizou dois doze quatorze e quinze bytes graças ao tetocat .
• Guardou um byte.

Q(u,a){int*d,*r,A[u],t,i[a=u],*c=i,k;for(;a--;k||(*c++=a*a%u))for(k=a[A]=0,r=i;r<c;)k+=a*a%u==*r++;for(r=c;i-r--;)for(d=i;d<c;++A[(u+*r-*d++)%u]);for(t=*A;++a<u;t=k&&k<t?k:t)k=A[a];u=t;}

Experimente online!

Python 2 , 97 bytes

def f(n):r={i*i%n for i in range(n)};r=[(s-t)%n for s in r for t in r];return min(map(r.count,r))

Experimente online!

K (ngn / k) , 29 bytes

{&/#:'=,/x!r-\:r:?x!i*i:!x}

Experimente online!

{ } função com argumento x

!xnúmeros inteiros de 0ax-1

i: atribuir a i

x! mod x

? único

r: atribuir a r

-\: subtrair de cada esquerda

r-\:r matriz de todas as diferenças

x! mod x

,/ concatenar as linhas da matriz

= grupo, retorna um dicionário de valores exclusivos para listas de índices de ocorrência

#:' comprimento de cada valor no dicionário

&/ mínimo

Wolfram Language (Mathematica) , 64 bytes

Min[Last/@Tally@Mod[Tuples[Union@Mod[Range@#^2,#],2].{1,-1},#]]&

Experimente online!

Ruby , 88 bytes

->n{(z=(w=(0..n).map{|x|x*x%n}|[]).product(w).map{|a,b|(a-b)%n}).map{|c|z.count(c)}.min}

Experimente online!

APL (Dyalog Unicode) , 28 24 bytes

{⌊/⊢∘≢⌸∊⍵|∘.-⍨∪⍵|×⍨⍳⍵+1}

Experimente online!

Prefixo da função direta. Usos ⎕IO←0.

Graças ao vacas charlatão por 4 bytes!

Quão:

{⌊/⊢∘≢⌸∊⍵|∘.-⍨∪⍵|×⍨⍳⍵+1} ⍝ Dfn, argument ⍵

                   ⍳⍵+1 ⍝ Range [0..⍵]
                 ×⍨     ⍝ Squared
               ⍵|       ⍝ Modulo ⍵
              ∪         ⍝ Unique
          ∘.-⍨          ⍝ Pairwise subtraction table
       ∊⍵|              ⍝ Modulo ⍵, flattened
      ⌸                 ⍝ Key; groups indices (in its ⍵) of values (in its ⍺).
   ⊢∘≢                  ⍝ Tally (≢) the indices. This returns the number of occurrences of each element.
 ⌊/                      ⍝ Floor reduction; returns the smallest number.