Listas auto-descritivas ciclicamente

Uma lista $L$ de números inteiros positivos é auto-descrita ciclicamente , se as seguintes condições forem válidas.

1. $L$ não é vazio.
2. O primeiro e o último elementos de $L$ são diferentes.
3. Se você dividir $L$ em execuções de elementos iguais, o elemento de cada execução será igual ao comprimento da próxima execução e o elemento da última execução será igual ao comprimento da primeira execução.

Por exemplo, considere $L = [1,1,1,2,3,3,1,1,1,3]$ . Não é vazio, e o primeiro e o último elementos são diferentes. Quando dividimos em rodadas, obtemos $[[1,1,1],[2],[3,3],[1,1,1],[3]]$ .

• A primeira corrida é uma corrida de $1$ s, e o comprimento da próxima corrida, $[2]$ , é $1$ .
• A segunda corrida é uma corrida de $2$ s, e o comprimento da próxima corrida, $[3,3]$ , é $2$ .
• A terceira corrida é uma corrida de $3$ s, e a duração da próxima corrida, $[1,1,1]$ , é $3$ .
• A quarta corrida é uma corrida de $1$ s, e o comprimento da próxima corrida, $[3]$ , é $1$ .
• Finalmente, a última corrida é de $3$ s, e o comprimento da primeira, $[1,1,1]$ , é $3$ .

Isso significa que $L$ é uma lista auto-descritiva ciclicamente.

Para um não exemplo, a lista $[3,2,2,2,1,4,1,1,1]$ não é auto-descritiva ciclicamente, uma vez que uma execução de $2$ s é seguida por uma execução de comprimento $1$ . A lista $[2,2,4,4,3,3,3,3]$ também não é auto-descritiva ciclicamente, uma vez que a última execução é uma execução de $3$ s, mas a primeira execução tem duração$2$ .

A tarefa

Neste desafio, sua entrada é um número inteiro $n \geq 1$ . Sua saída deve ser o número de listas auto-descritivas ciclicamente cuja soma é igual a $n$ . Por exemplo, $n = 8$ deve resultar em $4$ , pois as listas auto-descritivas ciclicamente cuja soma é $8$ são $[1,1,1,1,4]$ , $[1,1,2,1,1,2]$ , $[2,1,1,2,1,1]$ e$[4,1,1,1,1]$ . A menor contagem de bytes vence e outras regras padrão decódigo de golfe seaplicam.

Aqui estão os valores de saída corretos para entradas de $1$ a $50$ :

1 -> 0
2 -> 0
3 -> 0
4 -> 2
5 -> 0
6 -> 2
7 -> 0
8 -> 4
9 -> 0
10 -> 6
11 -> 6
12 -> 12
13 -> 0
14 -> 22
15 -> 10
16 -> 32
17 -> 16
18 -> 56
19 -> 30
20 -> 96
21 -> 56
22 -> 158
23 -> 112
24 -> 282
25 -> 198
26 -> 464
27 -> 364
28 -> 814
29 -> 644
30 -> 1382
31 -> 1192
32 -> 2368
33 -> 2080
34 -> 4078
35 -> 3844
36 -> 7036
37 -> 6694
38 -> 12136
39 -> 12070
40 -> 20940
41 -> 21362
42 -> 36278
43 -> 37892
44 -> 62634
45 -> 67154
46 -> 108678
47 -> 118866
48 -> 188280
49 -> 209784
50 -> 326878

Haskell , 75 bytes

Obrigado Ørjan por salvar um byte!

g n=sum[x#n|x<-[1..n],let a#n=sum$[b#(n-a*b)|b<-[1..n],a/=b]++[0^n^2|a==x]]

Experimente online!

O problema é equivalente a:

$n$$\sum_{i=0}^ka_ia_{i+1}$$a_i\in\mathbb N,a_i\neq a_{i+1},a_0=a_k$

Geléia , 18 bytes

ṗⱮ¹Ẏ;ḷ/$€IẠ$Ƈ×Ɲ€§ċ

Experimente online!

Ideia: Cada lista auto-descritiva ciclicamente pode ser descrita como uma lista de valores para cada bloco, e podemos deduzir os comprimentos dos valores. Observe que dois valores adjacentes devem ser diferentes. Obviamente, pode haver no máximo nblocos e o comprimento de cada bloco é no máximo n.

Haskell, 118 105 103 bytes

Edit: -13 bytes graças a @ Ørjan Johansen, -2 bytes graças a @ H.PWiz

g s=sum[b#a$s|b<-[1..s],a<-[1..s],let(d#l)s|d==a,d/=b,l*d==s=1|n<-s-d*l=sum[i#d$n|i<-[1..s],d/=i,n>=0]]

Experimente online!