Em matemática, um quadrilátero cíclico é aquele cujos vértices estão todos no mesmo círculo. Em outras palavras, todo vértice está no circulo dos outros três. Para mais informações, consulte o artigo MathWorld .

Exemplos

Estes quadriláteros são cíclicos:

Este trapézio não é cíclico.

_{(Imagens da Wikipedia)}

Objetivo

Dadas as coordenadas de quatro vértices na ordem anti-horária que formam um quadrilátero convexo, determine se o quadrilátero é cíclico.

As coordenadas serão inteiras (observe, no entanto, que as coordenadas do circuncentro e o perímetro do raio não são necessariamente inteiros.) Como está implícito no parágrafo anterior, três pontos não serão co-lineares e dois coincidentes.

I / O

Você pode receber informações usando qualquer formato razoável. Em particular, [[x1,x2,x3,x4],[y1,y2,y3,y4]], [[x1,y1],[x2,y2],[x3,y3],[x4,y4]]e números complexos são todos muito bem.

Saída usando valores consistentes diferentes para verdadeiro e falso.

Casos de teste

Verdade:

[0,0], [314,0], [314,1], [0,1]
[-5,5], [5,-5], [1337,42], [42,1337]
[104, -233], [109, -232], [112, -231], [123, -224]

Falso:

[0,0], [314,0], [314,100], [0,99]
[31,41],[59,26],[53,58],[0,314]

Wolfram Language (Mathematica) , 23 bytes

#∈Circumsphere@{##2}&

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Toma quatro entradas: as listas {x1,y1}, {x2,y2}, {x3,y3}, e {x4,y4}. Verifica se o primeiro ponto está no circulo dos outros três. Também funciona para verificar se pontos em são concíclicos, desde que os últimos sejam afinamente independentes (porque é triste se você fornecer uma entrada degenerada).$n+1$$\mathbb R^n$$n$Circumsphere

Como alternativa, aqui está uma abordagem matemática:

Wolfram Language (Mathematica) , 29 28 25 24 bytes

Det@{#^2+#2^2,##,1^#}^0&

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Leva duas listas como entrada: {x1,x2,x3,x4}e {y1,y2,y3,y4}. Retorna Indeterminatequando os quatro pontos estão em um círculo comum e 1caso contrário.

$(x_1, y_1), (x_2,y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$

$\begin{bmatrix}x_1^2 + y_1^2 & x_2^2 + y_2^2 & x_3^2 + y_3^2 & x_4^2 + y_4^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

O determinante dessa matriz é 0 se e somente se as quatro linhas forem linearmente dependentes, e uma dependência linear entre as linhas é a mesma coisa que a equação de um círculo que é satisfeita em todos os quatro pontos.

A maneira mais curta em que pude verificar se o determinante é 0 é aumentá-lo para o 0-ésimo poder: 0^0é Indeterminateenquanto qualquer outra coisa dá 1.

Python 3 , 70 bytes

lambda b,c,d,e,a=abs:a(a(b-d)*a(c-e)-a(b-c)*a(d-e)-a(c-d)*a(b-e))<1e-8

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Eu uso o teorema de Ptolomeu .

Em um quadrilátero, se a soma dos produtos de seus dois pares de lados opostos for igual ao produto de suas diagonais, o quadrilátero poderá ser inscrito em um círculo.

b, c, d, eSão números complexos.

Perl 6 , 44 bytes

{!im ($^b-$^a)*($^d-$^c)/(($d-$a)*($b-$c)):}

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Toma vértices como números complexos. Usa o fato de que a soma de ângulos opostos é de 180 ° em um quadrilátero cíclico. A ordem das operações deve garantir que as operações de ponto flutuante produzam um resultado exato para números inteiros (suficientemente pequenos).

Solução TI-Basic do porto da Misha Lavrov, 33 bytes

{![*](map */*,($_ Z-.rotate)).im}

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JavaScript (ES6)

Testando os ângulos, 114 bytes

$[x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4]$

a=>(F=i=>(A=Math.atan2)(a[i+3&7]-(y=a[i+1]),a[i+2&7]-a[i])-A(a[i+5&7]-y,a[i+4&7]-a[i]))(0)+F(2)+F(4)+F(6)==Math.PI

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Computando um determinante, 130 bytes

$[x1,x2,x3,x4]$$[y1,y2,y3,y4]$

Essa é equivalente à 2ª resposta de MishaLavrov , com uma matriz rotacionada.

x=>y=>!(g=a=>a+a?a.reduce((v,[r],i)=>v+(i&1?-r:r)*g(a.map(r=>r.slice(1)).filter(_=>i--)),0):1)(x.map((X,i)=>[1,Y=y[i],X,X*X+Y*Y]))

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TI-Basic (série 83), 21 bytes

e^(ΔList(ln(ΔList(augment(Ans,Ans
not(imag(Ans(1)Ans(3

Recebe a entrada como uma lista de quatro números complexos em Ans. Retorna 1se o quadrilátero for cíclico ou 0não.

$z_1, z_2, z_3, z_4$

• ΔList(augment(Ans,Ans$z_2-z_1, z_3-z_2, z_4-z_3, z_1-z_4$
• e^(ΔList(ln($\frac{z_3-z_2}{z_2-z_1}, \frac{z_4-z_3}{z_3-z_2}, \frac{z_1-z_4}{z_4-z_3}, \dots$
• $\frac{z_3-z_2}{z_2-z_1} \cdot \frac{z_1-z_4}{z_4-z_3}$ $(z_3,z_1;z_2,z_4) = \frac{z_2-z_3}{z_2-z_1} : \frac{z_4-z_3}{z_4-z_1}$

Fiz o meu melhor para verificar se o erro numérico é um problema e não parece ser, mas se alguém tiver bons casos de teste para isso, informe-me.

JavaScript (ES6) (101 bytes)

p=>(h=(a,b)=>Math.hypot(p[a]-p[b],p[a+1]-p[b+1]))&&((h(2,4)*h(0,6)+h(0,2)*h(4,6)-h(0,4)*h(2,6))<1e-8)

Pega entrada como [x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4], gera um booleano.

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Gelatina , 11 bytes

²Sṭ;L€€ṖÆḊ¬

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Usa a abordagem determinante da solução Mathematica de Misha Lavrov . Saídas 1 para verdadeiro, 0 para falso.

Como funciona

²Sṭ;L€€ṖÆḊ¬  Main link (monad). Input: [[x1,x2,x3,x4], [y1,y2,y3,y4]]
²S           Square each scalar and add row-wise; [x1*x1+y1*y1, ...]
  ṭ          Append to the input
   ;L€€      Add two rows of [1,1,1,1]'s
       Ṗ     Remove an extra row
        ÆḊ¬  Is the determinant zero?

Gelatina , 12 bytes

Iµ÷×ƭ/÷SµḞ=A

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Utiliza a abordagem de razão cruzada complicada da solução TI-Basic da Misha Lavrov . Saídas 1 para verdadeiro, 0 para falso.

Como funciona

Iµ÷×ƭ/÷SµḞ=A  Main link (monad). Input: list of four complex numbers [z1,z2,z3,z4]
I             Increments; [z2-z1, z3-z2, z4-z3]
 µ            Refocus on above for sum function
  ÷×ƭ/÷S      (z2-z1)÷(z3-z2)×(z4-z3)÷(z4-z1)
        µ     Refocus again
         Ḟ=A  (real part) == (norm) within error margin
              i.e. imag part is negligible?

Eu acredito que ambos são jogáveis ​​...

APL (Dyalog Classic) , 25 bytes

{0=-/|⍵}(-⌿2 3⍴2/⌽)×⊃-1↓⊢

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Teorema de Ptolomeu, crédito: resposta de Кирилл Малышев