fundo

Para esse desafio, uma 'metaseqüência' será definida como uma sequência de números em que não apenas os próprios números aumentarão, mas também o incremento, e o incremento aumentará por um valor crescente, etc.

Por exemplo, a metaseqüência de camada 3 começaria como:

1 2 4 8 15 26 42 64 93 130 176

Porque:

    1 2 3  4  5  6  7  8   9       >-|
      ↓+↑ = 7                        | Increases by the amount above each time
  1 2 4 7  11 16 22 29 37  46  >-| <-|
                                 | Increases by the amount above each time
1 2 4 8 15 26 42 64 93 130 176 <-|

Desafio

Dado um número inteiro positivo, produza os primeiros vinte itens da metaseqüência dessa camada.

Casos de teste

Entrada: 3Saída:[ 1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232, 299, 378, 470, 576, 697, 834, 988, 1160 ]

Entrada: 1Saída:[ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ]

Entrada: 5Saída:[ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 120, 219, 382, 638, 1024, 1586, 2380, 3473, 4944, 6885, 9402, 12616, 16664 ]

Entrada: 13Saída:[ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16383, 32752, 65399, 130238, 258096, 507624 ]

Como você pode perceber, os primeiros itens de cada sequência da camada são os primeiros potências de 2 ...$t+1$$t$$t+1$

Regras

• Aplicam-se brechas padrão
• Isso é código-golfe , então a resposta mais curta em bytes ganha

Geléia , 8 7 bytes

20ḶcþŻS

Experimente online!

   cþ       Table of binom(x,y) where:
20Ḷ           x = [0..19]
     Ż        y = [0..n]    e.g.  n=3 → [[1, 1, 1, 1, 1, 1,  …]
                                         [0, 1, 2, 3, 4, 5,  …]
                                         [0, 0, 1, 3, 6, 10, …]
                                         [0, 0, 0, 1, 4, 10, …]]

      S     Columnwise sum.           →  [1, 2, 4, 8, 15, 26, …]

Isso usa o insight de @ alephalpha de que

Wolfram Language (Mathematica) , 34 bytes

0~Range~19~Binomial~i~Sum~{i,0,#}&

Experimente online!

A metaseqüência de nível $n$ é a soma dos primeiros $n+1$ elementos de cada linha do triângulo Pascal.

Haskell , 34 bytes

(iterate(init.scanl(+)1)[1..20]!!)

Usa entradas indexadas em 0 ( f 4retorna a camada 5.)

Haskell , 36 bytes

f 1=[1..20]
f n=init$scanl(+)1$f$n-1

Experimente online! Usa entradas indexadas em 1 ( f 5retorna a camada 5.)

Explicação

scanl (+) 1é uma função que recebe somas parciais de uma lista, iniciando em (e acrescentando) 1.

Por exemplo: scanl (+) 1 [20,300,4000]igual a [1,21,321,4321].

Acontece que o nível $n$ é apenas essa função aplicada $(n-1)$ vezes à lista $[1,2,3,\dots]$ .

(Ou equivalente: $n$ vezes a uma lista de todos.)

Usamos um initou [1..20-n]para contabilizar o aumento da lista em $1$ cada aplicativo.

Brain-Flak , 84 82 bytes

<>((()()()()()){}){({}[((()))])}{}<>{({}[(())]<<>{({}<>({}))<>}<>{}{({}<>)<>}>)}<>

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Anotado

<>               Switch to the off stack
((()()()()()){}) Push 10
{({}[((()))])}{} Make twice that many 1s
<>               Switch back
{                While ...
({}[(())]<       Subtract one from the input and push 1
<>               Switch
{                For every x on the stack
({}<>({}))<>     Remove x and add it to a copy of the other TOS
}                End loop
<>{}             Remove 1 element to keep it 20
{({}<>)<>}       Copy everything back to the other stack
>)}<>            End scopes and loops

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R , 36 bytes

rowSums(outer(0:19,0:scan(),choose))

Experimente online!

Obrigado a @ Giuseppe por sugerir outer.

Isso se baseia na abordagem descrita por @falphalpha

Python 2 , 69 58 55 bytes

Bytes salvos graças a ovs e Jo King ; também funciona agora em Python 3.

m=lambda t:[1+sum(m(t-1)[:n])for n in range(~t and 20)]

Experimente online!

A matemática

Seja $a(t,n)$ o termo $n^{th}$ (indexado 0) da sequência na camada $t$ . Uma pequena análise leva à seguinte fórmula de recorrência:

Trabalhando para trás, definimos $a(0,n) = 1$ e $a(-1,n) = 0$ para todos os $n$ . Essas definições simplificarão nosso caso base.

O código

Definimos uma função m(t)que retorna os 20 primeiros elementos da sequência na camada t. Se tnão for negativo, usamos a fórmula recursiva acima; se tfor -1, retornamos uma lista vazia. A lista vazia funciona como um caso base, porque o resultado de cada chamada recursiva é fatiado ( [:n]) e depois somado. Fatiar uma lista vazia fornece uma lista vazia e somar uma lista vazia fornece 0. Isso é exatamente o resultado que queremos, desde níveis $-1$ deve se comportar como uma sequência constante de todos os $0$ 's.

m=lambda t:                     # Define a function m(t):
 [          ]                   # List comprehension
     for n in range(         )  # for each n from 0 up to but not including...
                    ~n and 20   # 0 if n is -1, else 20:
  1+sum(          )             # a(t,n) = 1 + sum of
              [:n]              # the first n elements of
        m(t-1)                  # the previous tier (calculated recursively)

dzaima / APL REPL, 14 bytes

(+\1,19↑)⍣⎕⍳20

Experimente online!

(+\1,19↑)⍣⎕⍳20
(       )⍣⎕     repeat the function below input times:
 +\               cumulative sum of
   1,             1 prepended to
     19↑          the first 19 items of the previous iteration
           ⍳20  starting with the first 20 integers

Pari / GP , 39 bytes

n->Vec(sum(i=1,n+1,(1/x-1)^-i)+O(x^21))

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Pari / GP , 40 bytes

n->Vec((1-(1/x-1)^-n++)/(1-2*x)+O(x^20))

Experimente online!

$n$

Perl 6, 34 32 bytes

-2 bytes thanks to Jo King

{(@,{[\+] 1,|.[^19]}...*)[$_+1]}

Try it online!

Explanation

{                              }  # Anonymous block
   ,                ...*  # Construct infinite sequence of sequences
  @  # Start with empty array
    {              }  # Compute next element as
     [\+]     # cumulative sum of
          1,  # one followed by
            |.[^19]  # first 19 elements of previous sequence
 (                      )[$_+1]  # Take (n+1)th element

Python 3.8 (pre-release), 62 bytes

f=lambda n:[t:=1]+[t:=t+n for n in(n and f(n-1)[:-1]or[0]*19)]

Try it online!

Explanation

f=lambda n:     # funtion takes a single argument
     [t:=1]     # This evaluates to [1] and assigns 1 to t
                # assignment expressions are a new feature of Python 3.8
       +        # concatenated to
     [  ....  ] # list comprehension

# The list comprehesion works together with the
# assignment expression as a scan function:
[t := t+n for n in it]
# This calculates all partial sums of it 
# (plus the initial value of t, which is 1 here)

# The list comprehension iterates
# over the first 19 entries of f(n-1)
# or over a list of zeros for n=0
 for n in (n and f(n-1)[:-1] or [0]*19)

R ( 63 47 bytes)

function(n,k=0:19)2^k*pbeta(.5,pmax(k-n,0),n+1)

Demonstração online . Isso usa a função beta incompleta regularizada, which gives the cumulative distribution function of a binomial, and hence just needs a bit of scaling to give partial sums of rows of Pascal's triangle.

Oitava ( 66 46 bytes)

@(n,k=0:19)2.^k.*betainc(.5,max(k-n,1E-9),n+1)

Demonstração online . Exatamente o mesmo conceito, mas um pouco mais feio porque betainc, ao contrário dos R'spbeta , exige que o segundo e o terceiro argumentos sejam maiores que zero.

Muito obrigado a Giuseppe por me ajudar a vetorizá-los, com economias significativas.

Ruby, 74 bytes

a=->b{c=[1];d=0;b==1?c=(1..20).to_a: 19.times{c<<c[d]+(a[b-1])[d];d+=1};c}

Versão não destruída:

def seq num
    ary = [1]
    index = 0
    if num == 1
        ary = (1..20).to_a
    else
        19.times{ary << ary[index]+seq(num-1)[index]; index+=1}
    end
    return ary
end

Bastante uso de recursos - a versão online não pode calcular a 13ª metaseqüência.

Experimente online

Wolfram Language (Mathematica) , 42 bytes

Nest[FoldList[Plus,1,#]&,Range[21-#],#-1]&

Experimente online!

JavaScript (Node.js) , 58 bytes

t=>Array(20).fill(t).map(g=(t,i)=>i--*t?g(t,i)+g(t-1,i):1)

Experimente online!

É trivial escrever seguindo a fórmula recursiva com base na descrição em questão

05AB1E , 11 9 bytes

20LIF.¥>¨

Indexado a 0

Experimente online ou verifique todos os casos de teste .

Explicação:

20L        # Create a list in the range [1,20]
   IF      # Loop the input amount of times:
     .¥    #  Get the cumulative sum of the current list with 0 prepended automatically
       >   #  Increase each value in this list by 1
        ¨  #  Remove the trailing 21th item from the list
           # (after the loop, output the result-list implicitly)

R , 59 49 bytes

f=function(n)`if`(n,Reduce(`+`,f(n-1),1,,T),1:20)

Experimente online!

Recursivamente Reducecom +, init=1e accumulation=TRUEpara evitar ter que subconjunto. Agradecemos a Criminally Vulgar por sugerir a abordagem recursiva!

JavaScript (ES6),  68  67 bytes

f=(n,a=[...f+f])=>n--?f(n,[s=1,...a.map(x=>s-=~--x)]):a.slice(0,20)

Experimente online!

JavaScript (ES6), 63 bytes

NB: esta versão funciona para $n\le20$.

f=(n,a=[...Array(20-n)])=>n--?f(n,[s=1,...a.map(x=>s+=x||1)]):a

Experimente online!

J , 24 bytes

<:(1+/\@,])^:[(1+i.20)"_

Experimente online!

NOTA: Acontece que esta é uma tradução da resposta da APL do dzaima, embora eu não tenha percebido isso antes de escrever isso.

explicação

<: (1 +/\@, ])^:[ (1+i.20)"_
<:                           NB. input minus 1 (left input)
                  (1+i.20)"_ NB. 1..20 (right input)
   (         )^:[            NB. apply verb in parens 
                             NB. "left input" times
   (1     , ])               NB. prepend 1 to right input
   (  +/\@   )               NB. and take scan sum

Ruby, 49 bytes

f=->n{n<1?[1]*20:[o=1]+f[n-1][0,19].map{|x|o+=x}}

Definição recursiva: a camada 0 é 1,1,1,1...e cada camada subseqüente é 1, seguida por uma sequência cujas primeiras diferenças são a camada anterior. Irritantemente, isso me daria 21 valores se eu não explicitamente separar os 20 primeiros; Parece que deveria haver uma maneira de reduzir isso, evitando isso.

Retina , 59 bytes

.+
19*$(_,

Substitua a entrada por 19 1s (em unário). (O vigésimo valor é 0, porque ele sempre é excluído pela primeira passagem pelo loop.)

"$+"{`
)`

Repita o loop o número de entrada original várias vezes.

(.+),_*
_,$1

Remova o último elemento e prefixe a 1.

_+(?<=((_)|,)+)
$#2*

Calcular a soma acumulada.

_+
$.&

Converta para decimal.

Experimente online!

C # (compilador interativo do Visual C #) , 120 bytes

n=>{for(long i=-1,h=0,m=0;++i<20;Print(i<1?1:h))for(m=h=0;m<=n;)h+=f(i)/(f(m)*f(i-m++));long f(long a)=>a>1?a*f(a-1):1;}

Experimente online!

Baseado na fórmula de alefalpha.

Ferrugem , 135 bytes

fn t(m:u64)->Vec<u64>{let f=|y|(1..=y).fold(1,|a,n|a*n);(0..20).map(|i| (0..=u64::min(i,m)).fold(0,|a,x|a+f(i)/f(x)/f(i-x))).collect()}

usou a idéia de @alephalpha, como várias outras. não há fatorial embutido, de modo que consuma pelo menos 36 bytes (além de lidar com negativos). nenhuma escolha interna, outros 16 bytes. iterador-> tipo de vetor declarado, 20 bytes .. etc etc.

Ungolfed em play.rust-lang.org

R ( 60 59 bytes)

function(n)Reduce(function(p,q)2*p-choose(q-1,n),1:19,1,,1)

Demonstração online

Implementação direta da observação

T (n, k) = 2 T (n-1, k) - binomial (n-1, k). - MF Hasler, 30 de maio de 2010

do OEIS A008949 . Os argumentos para Reducesão a função (obviamente), a matriz sobre a qual mapear, o valor inicial, um valor falso (dobrar da esquerda em vez da direita) e um valor verdadeiro para acumular os resultados intermediários em uma matriz.

K (oK) , 17 bytes

-1 byte graças ao ngn (alternando de indexado 0 para indexado 1)

{x(+\1,19#)/20#1}

Experimente online!

Indexado 1

K (oK) , 18 bytes

{x(+\1,19#)/1+!20}

Experimente online!

Indexado a 0

Gelatina , 10 bytes

20RṖ1;ÄƲ⁸¡

Experimente online!

Indexado a 0.

Perl 5, 48 bytes

$x=1,@A=(1,map$x+=$_,@A[0..18])for 0..$_;$_="@A"

TIO

Japonês , 15 bytes

Indexado a 0; substituir hcom po 1-indexado.

ÈîXi1 å+}gNh20õ

Tente

CJam (20 bytes)

1aK*{1\{1$+}/;]}q~*p

Demonstração online . Este é um programa que recebe a entrada do stdin e imprime no stdout; para a mesma pontuação, um bloco anônimo (função) pode ser obtido como

{1aK*{1\{1$+}/;]}@*}

Dissecação

Isso aplica a definição literalmente:

1aK*      e# Start with an array of 20 1s
{         e# Loop:
  1\      e#   Push a 1 before the current list
  {1$+}/  e#   Form partial sums (including that bonus 1)
  ;]      e#   Ditch the last and gather in an array (of length 20)
}
q~*       e# Take input and repeat the loop that many times
p         e# Pretty print