O grupo diédrico $D_4$ é o grupo de simetria do quadrado, ou seja, os movimentos que transformam um quadrado em si mesmo por meio de rotações e reflexões. Consiste em 8 elementos: rotações de 0, 90, 180 e 270 graus e reflexões nos eixos horizontal, vertical e dois diagonais.

As imagens são desta página adorável de Larry Riddle.

Esse desafio é sobre a composição desses movimentos: dados dois movimentos, produza o movimento equivalente a executá-los um após o outro. Por exemplo, fazer o movimento 7 seguido pelo movimento 4 é o mesmo que fazer o movimento 5.

Observe que alternar a ordem para mover 4 e depois mover 7 produz o movimento 6.

Os resultados estão tabulados abaixo; esta é a tabela de Cayley do grupo $D_4$ . Por exemplo, as entradas $7, 4$ devem produzir a saída $5$ .

$$\begin{array}{*{20}{c}} {} & {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \end{array} } \\ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \\ \end{array} } & {\boxed{\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 3 & 4 & 1 & 8 & 7 & 5 & 6\\ 3 & 4 & 1 & 2 & 6 & 5 & 8 & 7\\ 4 & 1 & 2 & 3 & 7 & 8 & 6 & 5\\ 5 & 7 & 6 & 8 & 1 & 3 & 2 & 4\\ 6 & 8 & 5 & 7 & 3 & 1 & 4 & 2\\ 7 & 6 & 8 & 5 & 4 & 2 & 1 & 3\\ 8 & 5 & 7 & 6 & 2 & 4 & 3 & 1\\ \end{array} }} \\ \end{array}$$

Desafio

Seu objetivo é implementar essa operação no menor número de bytes possível, mas, além do código, você também escolhe os rótulos que representam os movimentos de 1 a 8. Os rótulos devem ter 8 números distintos, de 0 a 255 , ou o número 8. caracteres de bytes que seus pontos de código representam.

Seu código receberá dois dos rótulos dos 8 que você escolheu e deve exibir o rótulo que corresponde à sua composição no grupo diédrico $D_4$ .

Exemplo

Digamos que você tenha escolhido os caracteres C, O, M, P, U, T, E, R para os movimentos de 1 a 8, respectivamente. Em seguida, seu código deve implementar esta tabela.

$$\begin{array}{*{20}{c}} {} & {\begin{array}{*{20}{c}} \, C \, & \, O \, & M \, & P \, & U \, & \, T \, & \, E \, & R \, \\ \end{array} } \\ {\begin{array}{*{20}{c}} C \\ O \\ M \\ P \\ U \\ T \\ E \\ R \\ \end{array} } & {\boxed{\begin{array}{*{20}{c}} C & O & M & P & U & T & E & R \\ O & M & P & C & R & E & U & T\\ M & P & C & O & T & U & R & E\\ P & C & O & M & E & R & T & U\\ U & E & T & R & C & M & O & P\\ T & R & U & E & M & C & P & O\\ E & T & R & U & P & O & C & M\\ R & U & E & T & O & P & M & C\\ \end{array} }} \\ \end{array}$$

Dadas as entradas E e P, você deve enviar U. Suas entradas sempre serão duas das letras C, O, M, P, U, T, E, R, e sua saída sempre deve ser uma dessas letras.

Tabela de texto para copiar

1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 8 7 5 6
3 4 1 2 6 5 8 7
4 1 2 3 7 8 6 5
5 7 6 8 1 3 2 4
6 8 5 7 3 1 4 2
7 6 8 5 4 2 1 3
8 5 7 6 2 4 3 1

Ruby , 18 bytes

->a,b{a+b*~0**a&7}

Ungolfed

->a,b{ (a+b*(-1)**a) % 8}  
# for operator precedence reasons, 
#-1 is represented as ~0 in the golfed version 

Experimente online!

Usa os seguintes números de código de 0 a 7

Em ordem nativa para o código:

Native     Effect                    Codes per
Code                                 Question
0          rotate 0 anticlockwise    1C
1 /        flip in y=x               7E
2 /|       rotate 90 anticlockwise   2O
3 /|/      flip in x axis            5U
4 /|/|     rotate 180 anticlockwise  3M
5 /|/|/    flip in y=-x              8R
6 /|/|/|   rotate 270 anticlockwise  4P
7 /|/|/|/  flip in y axis            6T

Em ordem de acordo com a pergunta

Native     Effect                    Codes per
Code                                 Question
0          rotate 0 anticlockwise    1C
2 /|       rotate 90 anticlockwise   2O
4 /|/|     rotate 180 anticlockwise  3M
6 /|/|/|   rotate 270 anticlockwise  4P
3 /|/      flip in x axis            5U
7 /|/|/|/  flip in y axis            6T
1 /        flip in y=x               7E
5 /|/|/    flip in y=-x              8R

Explicação

/representa um giro na linha y=xe |representa um giro no eixo y.

É possível gerar qualquer uma das simetrias do grupo D4 alternando alternadamente nessas duas linhas. Por exemplo, /seguidas de |give, /|que é uma rotação de 90 graus no sentido anti-horário.

O número total de lançamentos consecutivos fornece uma representação muito conveniente para manipulação aritmética.

Se o primeiro movimento for uma rotação, podemos simplesmente adicionar o número de movimentos:

Rotate 90 degrees   +  Rotate 180 degrees = Rotate 270 degrees
/|                     /|/|                 /|/|/|

Rotate 90 degress   +  Flip in y=x        = Flip in x axis   
/|                    /                     /|/

Se o primeiro movimento é um reflexo, descobrimos que temos alguns reflexos /e |símbolos idênticos um ao lado do outro. Como a reflexão é auto-inversa, podemos cancelar esses movimentos um a um. Então, precisamos subtrair um movimento do outro

Flip in x axis     +  Flip in y=x        = Rotate 90 degrees
/|/                   /                    /|/ / (cancels to) /|

Flip in x axis     +  Rotate 90 degrees  = Flip in y=x
/|/                   /|                   /|/ /| (cancels to ) / 

Wolfram Language (Mathematica) , 31 bytes

Usando números inteiros $0, 5, 2, 7, 1, 3, 6, 4$ como rótulos.

BitXor[##,2Mod[#,2]⌊#2/4⌋]&

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Explicação:

O grupo diédrico $D_4$ é isomórfico ao grupo da matriz unitriangular de grau três sobre o campo $\mathbb{F}_2$ :

$$D_4 \cong U(3,2) := \left\{\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a,b,c \in \mathbb{F}_2\right\}.$$

E nós temos

$$\begin{pmatrix} 1 & a_1 & b_1 \\ 0 & 1 & c_1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & a_2 & b_2 \\ 0 & 1 & c_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a_1+a_2 & b_1+b_2+a_1c_2 \\ 0 & 1 & c_1+c_2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$$

que pode ser facilmente escrito em operações bit a bit.

Wolfram Language (Mathematica) , 51 bytes

⌊#/4^IntegerDigits[#2,4,4]⌋~Mod~4~FromDigits~4&

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Usando etiquetas {228, 57, 78, 147, 27, 177, 198, 108}.

Estes estão {3210, 0321, 1032, 2103, 0123, 2301, 3012, 1230}na base 4. Felizmente, 256 = 4 ^ 4.

---

Implementação de nível inferior, também 51 bytes

Sum[4^i⌊#/4^⌊#2/4^i⌋~Mod~4⌋~Mod~4,{i,0,3}]&

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Python 2 , 22 bytes

$0, 6, 1, 7, 2, 3, 5, 4$

lambda a,b:a^b^a/2&b/4

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Python 2 , 26 23 21 bytes

lambda x,y:y+x*7**y&7

$D_3$andxnor

 id | r1 | r2 | r3 | s0 | s1 | s2 | s3 
----+----+----+----+----+----+----+----
 0  | 2  | 4  | 6  | 1  | 3  | 5  | 7  

TI-BASIC, 165 bytes

Ans→L₁:{.12345678,.23417865,.34126587,.41238756,.58671342,.67583124,.75862413,.86754231→L₂:For(I,1,8:10fPart(.1int(L₂(I)₁₀^(seq(X,X,1,8:List▶matr(Ans,[B]:If I=1:[B]→[A]:If I-1:augment([A],[B]→[A]:End:[A](L₁(1),L₁(2

Entrada é uma lista de comprimento dois Ans.
Saída é o número no(row, column) índice da tabela.

Poderia haver um método de compactação melhor que economizasse bytes, mas precisarei analisar isso.

Exemplos:

{1,2
           {1 2}
prgmCDGF1B
               2
{7,4
           {7 4}
prgmCDGF1B
               5

Explicação:
(Novas linhas foram adicionadas para facilitar a leitura.)

Ans→L₁                              ;store the input list into L₁
{.123456 ... →L₂                    ;store the compressed matrix into L₂
                                    ; (line shortened for brevity)
For(I,1,8                           ;loop 8 times
10fPart(.1int(L₂(I)₁₀^(seq(X,X,1,8  ;decompress the "I"-th column of the matrix
List▶matr(Ans,[B]                   ;convert the resulting list into a matrix column and
                                    ; then store it into the "[B]" matrix variable
If I=1                              ;if the loop has just started...
[B]→[A]                             ;then store this column into "[A]", another matrix
                                    ; variable
If I-1                              ;otherwise...
augment([A],[B]→[A]                 ;append this column onto "[A]"
End
[A](L₁(1),L₁(2                      ;get the index and keep it in "Ans"
                                    ;implicit print of "Ans"

Aqui está uma solução de 155 bytes , mas apenas codifica a matriz e obtém o índice.
Eu achei que era mais chato, então não fiz a minha inscrição oficial:

Ans→L₁:[[1,2,3,4,5,6,7,8][2,3,4,1,8,7,5,6][3,4,1,2,6,5,8,7][4,1,2,3,7,8,6,5][5,7,6,8,1,3,2,4][6,8,5,7,3,1,4,2][7,6,8,5,4,2,1,3][8,5,7,6,2,4,3,1:Ans(L₁(1),L₁(2

---

Nota: TI-BASIC é um idioma tokenizado. Contagem de caracteres não é igual à contagem de bytes.

Gelatina , 6 bytes

N⁹¡+%8

Um link diádico que aceita a primeira transformação à direita e a segunda transformação à esquerda, que produz a transformação composta.

Onde as transformações são:

as in question:  1    2    3    4    5    6    7    8
transformation: id  90a  180  90c  hor  ver  +ve  -ve
  code's label:  0    2    4    6    1    5    7    3

Experimente online! ... Ou veja a tabela mapeada de volta para os rótulos na pergunta .

(Os argumentos podem ser tomados na outra ordem usando o 6 byter, _+Ḃ?%8 )

Quão?

Cada etiqueta é o comprimento de uma sequência de alternância hore +vetransformação que é equivalente à transformação (por exemplo, 180é equivalente ahor, +ve, hor, +ve ).

A composição A,B é equivalente à concatenação das duas seqüências equivalentes e permite simplificar a subtração ou adição do módulo oito ...

Usando o 7, 4exemplo da pergunta, temos o seguinte +ve, 90c:
hor, +ve, hor, +ve, hor, +ve, hor , hor, +ve, hor, +ve, hor, +ve

... mas como hor, horé idque temos:
hor, +ve, hor, +ve, hor, +ve , +ve, hor, +ve, hor, +ve

... e uma vez que +ve, +veé id, temos:
hor, +ve, hor, +ve, hor , hor, +ve, hor, +ve

... e podemos repetir esses cancelamentos para:
hor
..equivalente à subtração dos comprimentos ( 7-6=1).

90a, 180 $\rightarrow$ 2+4=6 $\rightarrow$ 90c

Por fim, observe que uma sequência de comprimento oito é idpara que possamos pegar o módulo de comprimento de sequência resultante oito.

N⁹¡+%8 - Link: B, A
  ¡    - repeat (applied to chain's left argument, B)...
 ⁹     - ...times: chain's right argument, A
N      - ...action: negate  ...i.e. B if A is even, otherwise -B
   +   - add (A)
    %8 - modulo eight

---

Também é 1 byte menor que esta implementação usando índices de permutação lexicográficos:

œ?@ƒ4Œ¿

... um link monádico aceitando [first, second], com rótulos:

as in question:  1    2    3    4    5    6    7    8
transformation: id  90a  180  90c  hor  ver  +ve  -ve
  code's label:  1   10   17   19   24    8   15    6

JavaScript (Node.js) , 22 17 bytes

(x,y)=>y+x*7**y&7

$D_3$

 id | r1 | r2 | r3 | s0 | s1 | s2 | s3 
----+----+----+----+----+----+----+----
 0  | 2  | 4  | 6  | 1  | 3  | 5  | 7  

Versões mais antigas do JavaScript podem ser suportadas de várias maneiras por 22 bytes:

(x,y)=>(y&1?y-x:y+x)&7
(x,y)=>y-x*(y&1||-1)&7
(x,y)=>y+x*(y<<31|1)&7

Ferrugem , 16 bytes

|a,b|a^b^a/2&b/4

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Resposta Python do porto de alefhalpha. Mas mais curto.

Olmo , 42 bytes 19 bytes

\a b->and 7<|b+a*7^b

Porta da versão Node.js do Neil

Experimente online

Versão anterior:

\a b->and 7<|if and 1 a>0 then a-b else a+b

Python, 82 71 bytes

0-7

-11 bytes graças apenas ao ASCII

lambda a,b:int("27pwpxvfcobhkyqu1wrun3nu1fih0x8svriq0",36)>>3*(a*8+b)&7

TIO

Scala , 161 bytes

Escolhendo COMPUTADOR como etiquetas.

val m="0123456712307645230154763012675446570213574620316574310274651320"
val s="COMPUTER"
val l=s.zipWithIndex.toMap
def f(a: Char, b: Char)=s(m(l(a)*8+l(b))-48)

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Scala , 70 bytes

Escolhendo 0-7 números inteiros nativos como rótulos.

Compactou a matriz em uma string ASCII de 32 bytes, cada par de números n0, n1 em um caractere c = n0 + 8 * n1 + 49. A partir de 49, não temos \ na string codificada.

(a:Int,b:Int)=>"9K]oB4h]K9Vh4BoVenAJne3<_X<AX_J3"(a*4+b/2)-49>>b%2*3&7

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C # (compilador interativo do Visual C #) , 17 bytes

a=>b=>a^b^a/2&b/4

Resposta do Python do porto de alpehalpha.

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Perl 6 , 19 bytes

{($^x*7**$^y+$y)%8}

Solução Python do Porto de Neil .

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Wolfram Language (Mathematica), 7 bytes (codificação UTF-8)

#⊙#2&

Uma função pura usando dois argumentos. O símbolo aqui representado como⊙ na verdade é o símbolo Unicode privado F3DE do Mathematica (3 bytes), que representa a funçãoPermutationProduct .

O Mathematica conhece grupos dédricos e representa os elementos de vários grupos como permutações, escritas usando o Cyclescomando Por exemplo, executando o comando

GroupElements[DihedralGroup[4]]

produz a saída:

{Cycles[{}], Cycles[{{2, 4}}], Cycles[{{1, 2}, {3, 4}}], 
 Cycles[{{1, 2, 3, 4}}], Cycles[{{1, 3}}], Cycles[{{1, 3}, {2, 4}}], 
 Cycles[{{1, 4, 3, 2}}], Cycles[{{1, 4}, {2, 3}}]}

PermutationProduct é a função que multiplica elementos de grupo quando escritos neste formulário.

Como podemos escolher nossos próprios rótulos, essa função assume esses rótulos para os elementos do grupo; a associação entre esses rótulos e os da postagem do problema é dada por:

Cycles[{}] -> 1
Cycles[{{1, 2, 3, 4}}] -> 2
Cycles[{{1, 3}, {2, 4}}] -> 3
Cycles[{{1, 4, 3, 2}}] -> 4
Cycles[{{2, 4}}] -> 5
Cycles[{{1, 3}}] -> 6
Cycles[{{1, 2}, {3, 4}}] -> 7
Cycles[{{1, 4}, {2, 3}}] -> 8

tl; dr Há um builtin.