Esta é uma pergunta de sequência do tipo usual, aplicada à sequência OEIS A038666 . Ou seja, siga um destes procedimentos:

• Aceite nenhuma ou nenhuma entrada e envie A038666 até a morte por calor do universo.
• Aceitar um número inteiro positivo de entrada e de saída do $n$ ésimo termo de A038666 ou os seus primeiros $n$ termos. (Se estiver usando $0$ - em vez de $1$ indexação, é claro que você também precisará enviar 1na 0entrada.)

O $n$ º prazo de A038666 é a área menos entre os retângulos que contêm quadrados não-sobrepostos de tamanhos $1\times1,2\times2,\dots n\times n$ se você estiver usando $1$ -indexing.

Exemplo:

O retângulo de menor área que pode conter quadrados não sobrepostos dos tamanhos $1\times1$ a $4\times4$ tem dimensões $7\times5$ :

4 4 4 4 3 3 3
4 4 4 4 3 3 3
4 4 4 4 3 3 3
4 4 4 4 2 2 1
x x x x 2 2 x

Portanto, $a(4)=7\times5=35$ ( $1$ indexado).

Da mesma forma, o retângulo de menor área que contém quadrados não sobrepostos dos tamanhos $1\times1$ a $17\times17$ possui dimensões $39\times46$ , então $a(17)=39\times46=1794$ ( $1$ indexado).

JavaScript (ES6), 172 bytes

Sugestão de versão mais lenta, porém mais curta, sugerida por @JonathanAllan (também economizando 4 bytes na resposta original):

f=(n,A,S=(n,c)=>n>=0?c(n)||S(n-1,c):0)=>S(A,w=>(F=(l,n)=>n?S(w-n,x=>S(A/w-n,y=>l.some(([X,Y,W])=>X<x+n&X+W>x&Y<y+n&Y+W>y)?0:F([...l,[x,y,n]],n-1))):A%w<1)([],n))?A:f(n,-~A)

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Resposta original,  209 183 178  174 bytes

$N$

f=(n,A,S=(n,c)=>n>=0?c(n)||S(n-1,c):0)=>S(A,w=>A%w?0:(F=(l,n)=>n?S(w-n,x=>S(A/w-n,y=>l.some(([X,Y,W])=>X<x+n&X+W>x&Y<y+n&Y+W>y)?0:F([...l,[x,y,n]],n-1))):1)([],n))?A:f(n,-~A)

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Comentado

Função auxiliar

$S$$c$$n$$0$

S = (n, c) =>               // n = integer, c = callback function
  n >= 0 ?                  // if n is greater than or equal to 0:
    c(n) ||                 //   invoke c with n; stop if it's truthy
    S(n - 1, c)             //   or go on with n - 1 if it's falsy
  :                         // else:
    0                       //   stop recursion and return 0

Função principal

$A=1$

$(w,h)$$w\times h = A$$1\times1$$n\times n$

$(X,Y)$$W$$l[\text{ }]$

$A$$A+1$

f = ( n,                    // n = input
      A ) =>                // A = candidate area (initially undefined)
S(A, w =>                   // for w = A to w = 0:
  A % w ?                   //   if w is not a divisor of A:
    0                       //     do nothing
  : (                       //   else:
    F = (l, n) =>           //     F = recursive function taking a list l[] and a size n
      n ?                   //       if n is not equal to 0:
        S(w - n, x =>       //         for x = w - n to x = 0
          S(A / w - n, y => //           for y = A / w - n to y = 0:
            l.some(         //             for each square in l[]
            ([X, Y, W]) =>  //             located at (X, Y) and of width W:
              X < x + n &   //               test whether this square is overlapping
              X + W > x &   //               with the new square of width n that we're
              Y < y + n &   //               trying to insert at (x, y)
              Y + W > y     //
            ) ?             //             if some existing square does overlap:
              0             //               abort
            :               //             else:
              F([ ...l,     //               recursive call to F:
                  [x, y, n] //                 append the new square to l[]
                ],          //
                n - 1       //                 and decrement n
              )             //               end of recursive call
          )                 //           end of iteration over y
        )                   //         end of iteration over x
      :                     //       else (n = 0):
        1                   //         success: stop recursion and return 1
    )([], n)                //     initial call to F with an empty list of squares
) ?                         // end of iteration over w; if it was successful:
  A                         //   return A
:                           // else:
  f(n, -~A)                 //   try again with A + 1

Python 2 (PyPy) , 250 236 bytes

-14 bytes graças às sugestões do msh210 .

Gera o enésimo termo indexado 1 da sequência.

n=input()
r=range
k=n*-~n*(n-~n)/6
m=k*k
for Q in r(m):
 P={0}
 for X in r(n,0,-1):P|=([x for x in[{(x+a,y+b)for a in r(X)for b in r(X)}for x in r(Q%k-X+1)for y in r(Q/k-X+1)]if not x&P]+[{0}])[0]
 if len(P)>k:m=min(Q%k*(Q/k),m)
print m

Experimente online! Para n> 4, isso leva muito tempo. Eu verifiquei o resultado até n = 7 localmente.