Dado um número natural , retorne o ésimo primo cubano .$n$$n$

Primes cubanos

Um primo cubano é um número primo da forma

onde e ou$y>0$$x = 1+y$$x = 2+y$

Detalhes

• Você pode usar a indexação baseada em 0 ou 1, o que melhor lhe convier.
• Você pode retornar o ésimo primo, dado o índice ou o primeiro primos em ordem crescente, ou alternativamente, pode retornar uma lista / gerador infinito que produz os primos em ordem crescente.$n$$n$$n$

Casos de teste

Os primeiros termos são os seguintes:

(#1-13)   7, 13, 19, 37, 61, 109, 127, 193, 271, 331, 397, 433, 547,
(#14-24) 631, 769, 919, 1201, 1453, 1657, 1801, 1951, 2029, 2269, 2437,
(#25-34) 2791, 3169, 3469, 3571, 3889, 4219, 4447, 4801, 5167, 5419,
(#35-43) 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10093, 10267, 11719, 12097,
(#44-52) 12289, 13267, 13669, 13873, 16651, 18253, 19441, 19927, 20173

Mais termos podem ser encontrados no OEIS: Eles são divididos em duas seqüências, dependendo de ou : A002407 e A002648$x = 1+y$$x = 2+y$

JavaScript (V8) , 54 bytes

Um programa completo que imprime números primos cubanos para sempre.

for(x=0;;){for(k=N=~(3/4*++x*x);N%++k;);~k||print(-N)}

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^{Nota: A menos que você tenha papel infinito na impressora, não tente executá-lo no console do navegador , onde print()pode ter um significado diferente.}

JavaScript (ES6),  63 61 60  59 bytes

Retorna o $n$ ésimo primo cubano, indexado em 1.

f=(n,x)=>(p=k=>N%++k?p(k):n-=!~k)(N=~(3/4*x*x))?f(n,-~x):-N

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Quão?

Isso se baseia no fato de que os primos cubanos são primos da forma:

A fórmula acima pode ser escrita como:

ou para qualquer $y>0$ :

que é $\dfrac{x^3-y^3}{x-y}$ para$x=y+1$e$x=y+2$respectivamente.

05AB1E , 16 12 9 bytes

Gera uma lista infinita.
Economizou 4 bytes com a fórmula do porto de Arnaulds, de Kevin Cruijssen .
Economizou mais 3 bytes graças ao Grimy

∞n3*4÷>ʒp

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Explicação

∞          # on the list of infinite positive integers
 n3*4÷>    # calculate (3*N^2)//4+1 for each
       ʒp  # and filter to only keep primes

R , 75 73 bytes

n=scan()
while(F<n)F=F+any(!(((T<-T+1)*1:4-1)/3)^.5%%1)*all(T%%(3:T-1))
T

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-2 bytes, percebendo que posso remover colchetes se eu usar em *vez de &(precedência diferente).

Produz o nprimeiro número cubano (1-indexado).

Ele usa o fato (dado em OEIS) de que os primos cubanos têm a forma $p=1+3n^2$ ou $4p=1+3n^2$ para alguns $n$ , ou seja, $n=\sqrt{\frac{a\cdot p-1}{3}}$ é um número inteiro para$a=1$ou$a=4$.

O truque é que não nobre pode ser da forma de $2p=1+3n^2$ ou $3p=1+3n^2$ (*), de modo que pode poupar 2 bytes, verificando a fórmula para $a\in\{1, 2, 3, 4\}$ ( 1:4) em vez de $a\in\{1, 4\}$ ( c(1,4)).

Versão ligeiramente não destruída do código:

# F and T are implicitly initialized at 0 and 1
# F is number of Cuban primes found so far
# T is number currently being tested for being a Cuban prime
n = scan()                       # input
while(F<n){
  T = T+1                        # increment T 
  F = F +                        # increment F if
    (!all(((T*1:4-1)/3)^.5 %% 1) # there is an integer of the form sqrt(((T*a)-1)/3)
     & all(T%%(3:T-1)))          # and T is prime (not divisible by any number between 2 and T-1)
  }
T                                # output T

(*) Nenhum primo pode ter a forma $3p=1+3n^2$ , caso contrário $1=3(p-n^2)$ seria divisível por $3$ .

Nenhum primo diferente de $p=2$ (que não é um primo cubano) pode da forma $2p=1+3n^2$ : $n$ precisaria ser ímpar, ou seja, $n=2k+1$ . Expandindo dá $2p=4+12k(k+1)$ , portanto, $p=2+6k(k+1)$ e $p$ seria mesmo.

Wolfram Language (Mathematica) , 66 65 56 bytes

(f=1+⌊3#/4#⌋&;For[n=i=0,i<#,PrimeQ@f@++n&&i++];f@n)&

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• J42161217 -1 usando em ⌊ ⌋vez deFloor[ ]

• attinat

  • -1 usando em ⌊3#/4#⌋vez de⌊3#^2/4⌋
  • -8 para em For[n=i=0,i<#,PrimeQ@f@++n&&i++]vez den=2;i=#;While[i>0,i-=Boole@PrimeQ@f@++n]

Java 8, 94 88 86 84 bytes

v->{for(int i=3,n,x;;System.out.print(x<1?++n+" ":""))for(x=n=i*i++*3/4;~n%x--<0;);}

-6 bytes usando o verificador principal de Java do @SaraJ , portanto, faça um voto positivo!
-2 bytes graças a @ OlivierGrégoire . Como o primeiro número que verificamos é 7, podemos descartar o rastreio %ndo verificador principal da Sara, que é o fim do loop n=1.
-2 bytes graças a @ OlivierGrégoire, portando a resposta de @Arnauld .

Saídas delimitadas por espaço indefinidamente.

Experimente online.

Explicação (da versão antiga de 86 bytes): TODO: Atualizar explicação

$p_n=\left\lfloor\frac{3n^2}{4}\right\rfloor+1,\;n\ge3$

v->{                     // Method with empty unused parameter and no return-type
  for(int i=3,           //  Loop-integer, starting at 3
          n,x            //  Temp integers
      ;                  //  Loop indefinitely:
      ;                  //    After every iteration:
       System.out.print( //     Print:
        n==x?            //      If `n` equals `x`, which means `n` is a prime:
         n+" "           //       Print `n` with a space delimiter
        :                //      Else:
         ""))            //       Print nothing
    for(n=i*i++*3/4+1,   //   Set `n` to `(3*i^2)//4+1
                         //   (and increase `i` by 1 afterwards with `i++`)
        x=1;             //   Set `x` to 1
        n%++x            //   Loop as long as `n` modulo `x+1`
                         //   (after we've first increased `x` by 1 with `++x`)
             >0;);}      //   is not 0 yet
                         //   (if `n` is equal to `x`, it means it's a prime)

Wolfram Language (Mathematica) , 83 bytes

(t=1;While[Length[l=Select[Join@@Array[{(v=3#^2+1)+3#,v}&,t++],PrimeQ]]<#];Sort@l)&

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Gelatina , 12 bytes

²×3:4‘
ÇẒ$#Ç

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Com base no método de @ Arnauld . Aceita stdin e retorna muitos primos cubanos.

Wolfram Language (Mathematica) , 83 bytes

Esta solução produzirá o n-ésimo primo cubano com os benefícios adicionais de ser rápido e lembrar de todos os resultados anteriores no símbolo f.

(d:=1+3y(c=1+y)+3b c;e:=If[PrimeQ@d,n++;f@n=d];For[n=y=b=0,n<#,e;b=1-b;e,y++];f@#)&

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Espaço em branco , 180 bytes

[S S S T    S N
_Push_2][S N
S _Duplicate][N
S S N
_Create_Label_OUTER_LOOP][S N
N
_Discard_top_stack][S S S T N
_Push_1][T  S S S _Add][S N
S _Duplicate][S N
S _Duplicate][T S S N
_Multiply][S S S T  T   N
_Push_3][T  S S N
_Multiply][S S S T  S S N
_Push_4][T  S T S _Integer_divide][S S S T  N
_Push_1][T  S S S _Add][S S S T N
_Push_1][S N
S _Duplicate_1][N
S S S N
_Create_Label_INNER_LOOP][S N
N
_Discard_top_stack][S S S T N
_Push_1][T  S S S _Add][S N
S _Duplicate][S N
S _Duplicate][S T   S S T   T   N
_Copy_0-based_3rd][T    S S T   _Subtract][N
T   S T N
_Jump_to_Label_PRINT_if_0][S T  S S T   S N
_Copy_0-based_2nd][S N
T   _Swap_top_two][T    S T T   _Modulo][S N
S _Duplicate][N
T   S S S N
_Jump_to_Label_FALSE_if_0][N
S N
S N
_Jump_to_Label_INNER_LOOP][N
S S T   N
_Create_Label_PRINT][T  N
S T _Print_as_integer][S S S T  S T S N
_Push_10_(newline)][T   N
S S _Print_as_character][S N
S _Duplicate][N
S S S S N
_Create_Label_FALSE][S N
N
_Discard_top_stack][S N
N
_Discard_top_stack][N
S N
N
_Jump_to_Label_OUTER_LOOP]

Letras S(espaço), T(tabulação) e N(nova linha) adicionadas apenas como destaque.
[..._some_action]adicionado apenas como explicação.

Saídas delimitadas por nova linha indefinidamente.

Experimente online (apenas com espaços brutos, tabulações e novas linhas).

Explicação em pseudo-código:

$p_n=\left\lfloor\frac{3n^2}{4}\right\rfloor+1,\;n\ge3$

Integer i = 2
Start OUTER_LOOP:
  i = i + 1
  Integer n = i*i*3//4+1
  Integer x = 1
  Start INNER_LOOP:
    x = x + 1
    If(x == n):
      Call function PRINT
    If(n % x == 0):
      Go to next iteration of OUTER_LOOP
    Go to next iteration of INNER_LOOP

function PRINT:
  Print integer n
  Print character '\n'
  Go to next iteration of OUTER_LOOP

Python 3 , 110 108 102 bytes

Método semelhante ao da minha resposta do Mathematica (ie isPrime(1+⌊¾n²⌋) else n++), usando este verificador primário golfista e retornando um gerador infinito anônimo

from itertools import*
(x for x in map(lambda n:1+3*n**2//4,count(2)) if all(x%j for j in range(2,x)))

Experimente online!

• mypetlion -2 porque geradores indiscutivelmente anônimos são mais permitidos do que os nomeados
• -6 iniciando countem 2 _+1, para que o and x>1check-in emprestado seja desnecessário _-7

Japonês , 14 13 bytes

Adaptado da fórmula de Arnauld . 1 indexado.

@µXj}f@Ò(X²*¾

Tente

1 byte salvo graças ao EmbodimentOfIgnorance.

Raquete , 124 bytes

(require math)(define(f n[i 3])(let([t(+(exact-floor(* 3/4 i i))1)][k(+ 1 i)])(if(prime? t)(if(= 0 n)t(f(- n 1)k))(f n k))))

Experimente online!

Retorna o n-ésimo primo cubano, indexado em 0.

Usa a fórmula da resposta JavaScript de @ Arnauld

Python 3 , 83 bytes

imprime os primos cubanos para sempre.

P=k=1
while 1:P*=k*k;x=k;k+=1;P%k>0==((x/3)**.5%1)*((x/3+.25)**.5%1-.5)and print(k)

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Baseado neste gerador principal. Para cada primo, verifica se existe um número inteiro y que preencha a equação para $x = 1+y$$x=2+y$

Perl 6 , 33 31 bytes

-2 bytes graças ao Grimy

{grep &is-prime,1+|¾*$++²xx*}

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Bloco de código anônimo que retorna uma lista infinita e lenta de números primos cubanos. Isso usa a fórmula de Arnauld para gerar possíveis números primos cubanos e depois &is-primefiltrá-los.

Explicação:

{                           }  # Anonymous code block
 grep &is-prime,               # Filter the primes from
                         xx*   # The infinite list
                   ¾*          # Of three quarters
                     $++²      # Of an increasing number squared
                1+|            # Add one by ORing with 1

Pari / GP , 51 bytes

Usando a fórmula de Arnauld .

n->a=0;for(i=1,n,until(isprime(p=3*a^2\4+1),a++));p

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APL (NARS), 98 caracteres, 196 bytes

r←h w;y;c;v
r←c←y←0⋄→4
→3×⍳∼0πv←1+3×y×1+y+←1⋄r←v⋄→0×⍳w≤c+←1
→2×⍳∼0πv+←3×y+1⋄c+←1⋄r←v
→2×⍳w>c

recuado:

r←h w;y;c;v
r←c←y←0⋄→4
    →3×⍳∼0πv←1+3×y×1+y+←1⋄r←v⋄→0×⍳w≤c+←1
    →2×⍳∼0πv+←3×y+1⋄c+←1⋄r←v
    →2×⍳w>c

teste:

  h ¨1..20
7 13 19 37 61 109 127 193 271 331 397 433 547 631 769 919 1201 1453 1657 1801 
  h 1000
25789873
  h 10000
4765143511

é baseado em: se y em N, um possível Cuban Prime é

S1=1+3y(y+1)

o próximo possível Cuban Prime será

S2=3(y+1)+S1