Segundo a Wikipedia , uma função fortemente Darboux é

um para o qual a imagem de cada intervalo aberto (não vazio) é toda a linha real

Em outras palavras, uma função é fortemente Darboux se dado 3 números reais arbitrárias , , e , que é sempre possível encontrar um entre (distinta) e tal que .$f$$a$$b$$y$$x$$a$$b$$f(x) = y$

Para os propósitos deste desafio, consideraremos fortemente as funções de Darboux sobre os racionais.

Seu desafio é escrever um programa ou função que:

• fornece um número racional como saída para cada entrada de número racional,
• sempre fornece a mesma saída para uma determinada entrada e
• possui a propriedade fortemente Darboux.

Entrada e saída podem ser uma das seguintes:

• um tipo de número de precisão arbitrária, se o seu idioma tiver um (ou uma biblioteca para um, por exemplo, GMP).
• uma representação de string do número, que você pode assumir sempre conterá um ponto decimal e pelo menos um dígito de cada lado. Pode estar em qualquer base , mas a entrada e a saída devem estar na mesma base. Você pode usar qualquer conjunto de caracteres para os dígitos e ponto decimal (mas, novamente, eles devem ser consistentes entre entrada e saída).$b \geq 2$

A entrada sempre terá uma expansão de base final . Quanto à saída, que pode ter uma expansão da base teoricamente não terminal, dependendo da sua opção de função, você pode escolher uma das seguintes opções:$b$$b$

• dígitos de saída para sempre.
• tome um número inteiro adicional como entrada e saída, pelo menos, com tantos dígitos.
• produz pelo menos quantos dígitos há na entrada (que podem conter zeros à direita).

Observe que, pela natureza desse desafio, a convenção de que números podem ser considerados representáveis ​​por tipos de número padrão não se aplica, exceto pela segunda entrada descrita na opção 2 acima.

Para evitar brechas com funções definidas apenas em racionais não termináveis, sua submissão deve ser capaz de produzir uma saída arbitrariamente próxima a um valor desejado na prática . Formalmente, dado números racionais , , , e , deve haver um número racional que termina em sua base escolhida de tal forma que e .$a$$b$$y$$\varepsilon$$x$$a<x<b$$|f(x)-y|<\varepsilon$

Para lhe dar algumas idéias, aqui está uma descrição da função base 13 do Conway :

• Converta na base 13 e remova o ponto decimal.$x$
• Se o resultado for do formato , onde e consistem apenas em dígitos de 0 a 9, então .$[x]A[y]C[z]_{13}$$[y]$$[z]$$f(x) = [y].[z]$
• Se o resultado for do formato , onde e consistem apenas em dígitos de 0 a 9, então .$[x]B[y]C[z]_{13}$$[y]$$[z]$$f(x) = -[y].[z]$
• Caso contrário, .$f(x) = 0$

Esta função é fortemente Darboux. Digamos, por exemplo, que queremos encontrar entre e modo que . O valor base-13 atenderia a esse requisito.$x$$123.456_{13}$$123.457_{13}$$f(x) = 7.89$$123.456A7C89_{13}$

Seu envio pode ser uma implementação dessa função, embora eu suspeite que haja outras funções do Darboux fortemente muito mais curtas de implementar. :)

Retina 0.8.2 , 43 50 bytes

^.*\.(..)*1(.)((..)+)1.((..)*)$
$2$*-$3.$5
0(.)
$1

Experimente online! E / S é como uma sequência binária. Codifique um número binário ypróximo a outro número binário da aseguinte maneira:

1. Se anão contiver um ., sufixo um.
2. Se acontiver um número ímpar de dígitos após o ., sufixo a 0.
3. Se yfor negativo, sufixo; 11caso contrário, sufixo 10.
4. Para cada dígito em y, sufixo 0seguido por esse dígito.
5. Se ycontiver um .sufixo 11nesse ponto, coloque-o depois de todos os dígitos y.

Explicação:

^.*\.(..)*1(.)((..)+)1.((..)*)$
$2$*-$3.$5

Emparelhe os dígitos começando no ponto binário. Se o número for uma codificação válida, decodifique o último 1xpar de dígitos para ae .o segundo último para um -sinal opcional . Os dígitos anteriores são ignorados.

0(.)
$1

Isso deve deixar apenas os pares que começam com 0, então exclua os 0s.

Geléia , 71 bytes

L7*©ṛḅ7WµṪ×⁵d®µ⁴‘¤Ð¡ḊṖ
DF7,8ṣṪ¥ƒṣ9ḅ7×ɗÇƭ€j”,
DFf7r9¤ṫ-Ḍ⁼Ɱ“OY‘TịØ+³çƲ0Ẹ?

Experimente online!

Um programa completo que usa um número de base 10 como entrada e saída e implementa a função base 13 do Conway, mas usando as bases 7 e 10 em vez de 10 e 13. Tanto a entrada quanto a saída usam vírgula como separador decimal. A saída terá um líder - para números negativos.

Retina ,28. 25 26 28 bytes

.*11|22
.
D^`\.
^3
-
4(.)
$1

Experimente online!

Explicação

.*11|22     Delete up to the last 11 and prepend a dot. Also change 22 to a dot.
.
D^`\.       Keep only the last dot, if there is one.
^3          Change 3 at the beginning to a minus sign.
-
4(.)        4 is the escape character.
$1

Pode gerar zeros à esquerda e à direita e números sem uma parte inteira.

Poderia ser jogado 2 ou 3 bytes a mais se eu pudesse usar 4+. Mas não tenho certeza de como definir o resultado teórico se a entrada tiver um fluxo interminável de 4s.