Este é mais um desafio sobre os números de Fibonacci.

O objetivo é calcular o 20'000'000 ^th número Fibonacii o mais rápido possível. A saída decimal é aproximadamente 4 MiB grande; começa com:

28543982899108793710435526490684533031144309848579

A soma MD5 da saída é

fa831ff5dd57a830792d8ded4c24c2cb

Você deve enviar um programa que calcule o número durante a execução e coloque o resultado em stdout. O programa mais rápido, medido em minha própria máquina, vence.

Aqui estão algumas regras adicionais:

• Você deve enviar o código-fonte e um executável binário em um Linux x64
• O código fonte deve ser menor que 1 MiB; no caso de montagem, também é aceitável se apenas o binário for pequeno.
• Você não deve incluir o número a ser calculado no seu binário, mesmo de maneira disfarçada. O número deve ser calculado em tempo de execução.
• Meu computador possui dois núcleos; você tem permissão para usar paralelismo

Tirei uma pequena implementação da Internet, que é executada em cerca de 4,5 segundos. Não deve ser muito difícil superar isso, supondo que você tenha um bom algoritmo.

C com GMP, 3,6s

Deuses, mas o GMP torna o código feio. Com um truque no estilo Karatsuba, consegui reduzir para duas multiplicações por etapa de duplicação. Agora que estou lendo a solução da FUZxxl, não sou a primeira a ter a idéia. Tenho mais alguns truques na manga ... talvez os experimente mais tarde.

#include <gmp.h>
#include <stdio.h>

#define DBL mpz_mul_2exp(u,a,1);mpz_mul_2exp(v,b,1);mpz_add(u,u,b);mpz_sub(v,a,v);mpz_mul(b,u,b);mpz_mul(a,v,a);mpz_add(a,b,a);
#define ADD mpz_add(a,a,b);mpz_swap(a,b);

int main(){
    mpz_t a,b,u,v;
    mpz_init(a);mpz_set_ui(a,0);
    mpz_init(b);mpz_set_ui(b,1);
    mpz_init(u);
    mpz_init(v);

    DBL
    DBL
    DBL ADD
    DBL ADD
    DBL
    DBL
    DBL
    DBL ADD
    DBL
    DBL
    DBL ADD
    DBL
    DBL ADD
    DBL ADD
    DBL
    DBL ADD
    DBL
    DBL
    DBL
    DBL
    DBL
    DBL
    DBL
    DBL /*Comment this line out for F(10M)*/

    mpz_out_str(stdout,10,b);
    printf("\n");
}

Construído com gcc -O3 m.c -o m -lgmp.

Sábio

Hmm, você parece supor que o mais rápido será um programa compilado. Não é binário para você!

print fibonacci(2000000)

Na minha máquina, são necessários 0,10 cpu segundos, 0,15 segundos na parede.

editar: cronometrado no console, em vez do notebook

Haskell

Esta é minha própria tentativa, embora eu não tenha escrito o algoritmo sozinho. Eu o copiei do haskell.org e o adaptei para usar Data.Vectorcom sua famosa fusão de fluxo:

import Data.Vector as V
import Data.Bits

main :: IO ()
main = print $ fib 20000000

fib :: Int -> Integer
fib n = snd . V.foldl' fib' (1,0) . V.dropWhile not $ V.map (testBit n) $ V.enumFromStepN (s-1) (-1) s
    where
        s = bitSize n
        fib' (f,g) p
            | p         = (f*(f+2*g),ss)
            | otherwise = (ss,g*(2*f-g))
            where ss = f*f+g*g

Isso leva cerca de 4,5 segundos quando compilado com o GHC 7.0.3 e os seguintes sinalizadores:

ghc -O3 -fllvm fib.hs

VACA

 MoO moO MoO mOo MOO OOM MMM moO moO
 MMM mOo mOo moO MMM mOo MMM moO moO
 MOO MOo mOo MoO moO moo mOo mOo moo

Moo! (Demora um pouco. Beba um pouco de leite ...)

Mathematica, interpretado:

First@Timing[Fibonacci[2 10^6]]

Cronometrado:

0.032 secs on my poor man's laptop.

E, claro, não binário.

Ocaml, 0.856s no meu laptop

Requer a biblioteca zarith. Eu usei o Big_int, mas ele é lento em comparação com o zarith. Demorou 10 minutos com o mesmo código! Passava a maior parte do tempo imprimindo o número maldito (mais ou menos 9 minutos e meio)!

module M = Map.Make
  (struct
    type t = int
    let compare = compare
   end)

let double b = Z.shift_left b 1
let ( +. ) b1 b2 = Z.add b1 b2
let ( *. ) b1 b2 = Z.mul b1 b2

let cache = ref M.empty 
let rec fib_log n =
  if n = 0
  then Z.zero
  else if n = 1
  then Z.one
  else if n mod 2 = 0
  then
    let f_n_half = fib_log_cached (n/2)
    and f_n_half_minus_one = fib_log_cached (n/2-1)
    in f_n_half *. (f_n_half +. double f_n_half_minus_one)
  else
    let f_n_half = fib_log_cached (n/2)
    and f_n_half_plus_one = fib_log_cached (n/2+1)
    in (f_n_half *. f_n_half) +.
    (f_n_half_plus_one *. f_n_half_plus_one)
and fib_log_cached n =
    try M.find n !cache
    with Not_found ->
      let res = fib_log n
      in cache := M.add n res !cache;
      res

let () =
  let res = fib_log 20_000_000 in
  Z.print res; print_newline ()

Não acredito na diferença que a biblioteca fez!

Haskell

No meu sistema, isso é executado quase tão rápido quanto a resposta do FUZxxl (~ 18 segundos em vez de ~ 17 segundos).

main = print $ fst $ fib2 20000000

-- | fib2: Compute (fib n, fib (n+1)).
--
-- Having two adjacent Fibonacci numbers lets us
-- traverse up or down the series efficiently.
fib2 :: Int -> (Integer, Integer)

-- Guard against negative n.
fib2 n | n < 0 = error "fib2: negative index"

-- Start with a few base cases.
fib2 0 = (0, 1)
fib2 1 = (1, 1)
fib2 2 = (1, 2)
fib2 3 = (2, 3)

-- For larger numbers, derive fib2 n from fib2 (n `div` 2)
-- This takes advantage of the following identity:
--
--    fib(n) = fib(k)*fib(n-k-1) + fib(k+1)*fib(n-k)
--             where n > k
--               and k ≥ 0.
--
fib2 n =
    let (a, b) = fib2 (n `div` 2)
     in if even n
        then ((b-a)*a + a*b, a*a + b*b)
        else (a*a + b*b, a*b + b*(a+b))

C, algoritmo ingênuo

Era curioso, e eu não tinha usado o gmp antes ... então:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <gmp.h>

int main(int argc, char *argv[]){
    int n = (argc>1)?atoi(argv[1]):0;

    mpz_t temp,prev,result;
    mpz_init(temp);
    mpz_init_set_ui(prev, 0);
    mpz_init_set_ui(result, 1);

    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        mpz_add(temp, result, prev);
        mpz_swap(temp, result);
        mpz_swap(temp, prev);
    }

    printf("fib(%d) = %s\n", n, mpz_get_str (NULL, 10, result));

    return 0;
}

fib (1 milhão) leva cerca de 7 segundos ... então esse algoritmo não vence a corrida.

Eu implementei o método de multiplicação de matrizes (do sicp, http://sicp.org.ua/sicp/Exercise1-19 ) no SBCL, mas leva cerca de 30 segundos para concluir. Eu o portado para C usando GMP, e ele retorna o resultado correto em cerca de 1,36 segundos na minha máquina. É tão rápido quanto a resposta de Boothby.

#include <gmp.h>
#include <stdio.h>

int main()
{
  int n = 20000000;

  mpz_t a, b, p, q, psq, qsq, twopq, bq, aq, ap, bp;
  int count = n;

  mpz_init_set_si(a, 1);
  mpz_init_set_si(b, 0);
  mpz_init_set_si(p, 0);
  mpz_init_set_si(q, 1);
  mpz_init(psq);
  mpz_init(qsq);
  mpz_init(twopq);
  mpz_init(bq);
  mpz_init(aq);
  mpz_init(ap);
  mpz_init(bp);

  while(count > 0)
    {
      if ((count % 2) == 0)
        {
          mpz_mul(psq, p, p);
          mpz_mul(qsq, q, q);
          mpz_mul(twopq, p, q);
          mpz_mul_si(twopq, twopq, 2);

          mpz_add(p, psq, qsq);    // p -> (p * p) + (q * q)
          mpz_add(q, twopq, qsq);  // q -> (2 * p * q) + (q * q) 
          count/=2;
        }

      else
       {
          mpz_mul(bq, b, q);
          mpz_mul(aq, a, q);
          mpz_mul(ap, a, p);
          mpz_mul(bp, b, p);

          mpz_add(a, bq, aq);      // a -> (b * q) + (a * q)
          mpz_add(a, a, ap);       //              + (a * p)

          mpz_add(b, bp, aq);      // b -> (b * p) + (a * q)

          count--;
       }

    }

  gmp_printf("%Zd\n", b);
  return 0;
}

Java: 8 segundos para calcular, 18 segundos para escrever

public static BigInteger fibonacci1(int n) {
    if (n < 0) explode("non-negative please");
    short charPos = 32;
    boolean[] buf = new boolean[32];
    do {
        buf[--charPos] = (n & 1) == 1;
        n >>>= 1;
    } while (n != 0);
    BigInteger a = BigInteger.ZERO;
    BigInteger b = BigInteger.ONE;
    BigInteger temp;
    do {
        if (buf[charPos++]) {
            temp = b.multiply(b).add(a.multiply(a));
            b = b.multiply(a.shiftLeft(1).add(b));
            a = temp;
        } else {
            temp = b.multiply(b).add(a.multiply(a));
            a = a.multiply(b.shiftLeft(1).subtract(a));
            b = temp;
        }
    } while (charPos < 32);
    return a;
}

public static void main(String[] args) {
    BigInteger f;
    f = fibonacci1(20000000);
    // about 8 seconds
    System.out.println(f.toString());
    // about 18 seconds
}

Vai

É embaraçosamente lento. No meu computador, leva um pouco menos de 3 minutos. São apenas 120 chamadas recursivas (depois de adicionar o cache). Observe que isso pode usar muita memória (como 1,4 GiB)!

package main

import (
    "math/big"
    "fmt"
)

var cache = make(map[int64] *big.Int)

func fib_log_cache(n int64) *big.Int {
    if res, ok := cache[n]; ok {
        return res
    }
    res := fib_log(n)
    cache[n] = res
    return res
}

func fib_log(n int64) *big.Int {
    if n <= 1 {
        return big.NewInt(n)
    }

    if n % 2 == 0 {
        f_n_half := fib_log_cache(n/2)
        f_n_half_minus_one := fib_log_cache(n/2-1)
        res := new(big.Int).Lsh(f_n_half_minus_one, 1)
        res.Add(f_n_half, res)
        res.Mul(f_n_half, res)
        return res
    }
    f_n_half := fib_log_cache(n/2)
    f_n_half_plus_one := fib_log_cache(n/2+1)
    res := new(big.Int).Mul(f_n_half_plus_one, f_n_half_plus_one)
    tmp := new(big.Int).Mul(f_n_half, f_n_half)
    res.Add(res, tmp)
    return res
}

func main() {
    fmt.Println(fib_log(20000000))
}

pseudo código (não sei o que vocês estão usando)

product = 1
multiplier = 3 // 3 is fibonacci sequence, but this can be any number, 
      // generating an infinite amount of sequences
y = 28 // the 2^x-1 term, so 2^28-1=1,284,455,535th term
for (int i = 1; int < y; i++) {
  product= sum*multiplier-1
  multiplier= multiplier^2-2
}
multiplier=multiplier-product // 2^28+1 1,284,455,537th 

Meu computador levou 56 horas para executar esses dois termos. Meu computador é meio ruim. Vou ter o número em um arquivo de texto em 22 de outubro. 1,2 GB é um pouco grande para ser compartilhado na minha conexão.