Para aqueles com um pouco de fundo de álgebra linear, o desafio é simples: determine os autovalores e autovetores de uma dada matriz 2x2 complexa. Você pode pular adiante para os detalhes do Desafio para E / S, etc. Para aqueles que precisam de um pouco de atualização em sistemas eigensystems, continue lendo.

fundo

A equação característica de uma matriz A é definida por

det| A - λI | = 0

onde λ é um parâmetro complexo (escalar), I é a matriz de identidade e det | ... | é o determinante . O lado esquerdo avalia um polinômio em λ , o polinômio característico , que é quadrático no caso de matrizes 2x2. As soluções dessa equação característica são os autovalores de A , que iremos designar como λ ₁ e λ ₂ .

Agora os autovetores v _i de A satisfazem

A vi = λi vi

Para cada λ _i , isso fornece um sistema de duas equações em duas incógnitas (os componentes de v _i ), que podem ser resolvidos facilmente. Você notará que o sistema é realmente subespecificado e a magnitude dos vetores próprios não é determinada pelas equações. Em geral, queremos que os vetores próprios sejam normalizados, ou seja, √ (| x | ² + | y ​​| ² ) = 1 , onde x e y são os componentes do vetor, | x | ² é x multiplicado pelo seu conjugado complexo.

Observe que os valores próprios podem ser degenerados, ou seja, λ ₁ = λ ₂ . Nesse caso, você pode ou não conseguir satisfazer o sistema único de equações com dois vetores próprios linearmente independentes.

O desafio

Dada uma matriz 2x2 com elementos complexos, determine seus dois valores próprios (possivelmente idênticos) e um vetor próprio normalizado para cada valor próprio. Os números resultantes devem ter precisão de pelo menos três dígitos significativos (decimais). Você pode assumir que as partes reais e imaginárias de qualquer elemento da matriz estão no intervalo [-1,1] .

Você pode escrever uma função ou um programa, recebendo entradas via STDIN, argumento de linha de comando, prompt ou argumento de função. Você pode enviar o resultado para STDOUT, uma caixa de diálogo ou como o valor de retorno da função.

Você pode usar qualquer formato de lista ou string conveniente (mas não ambíguo) para entrada e saída. Você também pode escolher entre pares de carros alegóricos ou tipos complexos para representar os números individuais.

Você não deve usar funções internas para resolver sistemas auto-gerenciáveis ​​(como o Mathematica Eigenvectorsou Eigensystem) ou solucionadores de equações.

Isso é código de golfe, então a resposta mais curta (em bytes) vence.

Exemplos

Cada exemplo é de três linhas: a entrada, os valores próprios e os vetores próprios correspondentes na mesma ordem. Observe que os autovetores são determinados apenas até sua fase e que, no caso de autovalores degenerados, os autovetores podem realmente ser arbitrários (como no primeiro exemplo).

[[1.0, 0.0], [0.0, 1.0]]
[1.0, 1.0]
[[1.0, 0.0], [0.0, 1.0]]

[[0.0, 0.4], [-0.1, -0.4]]
[-0.2, -0.2]
[[0.894427, -0.447214], [0.894427, -0.447214]]

[[0.3, 0.1], [0.4, -0.9]]
[-0.932456, 0.332456]
[[-0.0808731, 0.996724], [0.951158, 0.308703]]

[[0.5, -1.0], [0.8, -0.5]]
[0.74162i, - 0.74162i]
[[0.745356, 0.372678 - 0.552771i], [0.745356, 0.372678 + 0.552771i]]

[[-0.0539222 + 0.654836i, -0.016102 + 0.221334i], [0.739514 - 0.17735i, -0.0849216 + 0.77977i]]
[0.238781 + 0.984333i, -0.377625 + 0.450273i]
[[0.313668 + 0.322289i, 0.893164], [-0.236405 - 0.442194i, 0.865204]]

[[-0.703107 - 0.331792i, 0.286719 - 0.587305i], [-0.418476 + 0.396347i, -0.885934 + 0.50534i]]
[-1.13654 - 0.32678i, -0.4525 + 0.500329i]
[[0.833367, -0.248208 - 0.493855i], [-0.441133 - 0.408236i, 0.799215]]

[[-0.156312 + 0.788441i, 0.045056 - 0.579167i], [0.130741 - 0.97017i, 0.049183 - 0.590768i]]
[-0.181759 + 1.11738i, 0.0746298 - 0.919707i]
[[0.86955, -0.493846 + 0.000213145i], [0.318856 - 0.0181135i, 0.94763]]

MATLAB, 91

Uma técnica padrão para obter um vetor normalizado e remover o grau inútil de liberdade está representando os elementos do vetor como o cosseno e o seno de algum ângulo.

Originalmente, tentei codificar em Python, mas seu manuseio matemático provou ser muito danificado no cérebro. Suas funções matemáticas recusaram-se a aceitar valores complexos e não entende que a divisão de ponto flutuante por zero é aceitável.

function[]=f(a,b,c,d)
L=(a+d+[1,-1]*((a-d)^2+4*b*c)^.5)/2
t=atan((L-a)/b);v=[cos(t);sin(t)]

Primeiro, os dois valores próprios são impressos sob o cabeçalho L =. Em seguida, dois vetores de coluna são impressos sob os valores correspondentes de L, em v =. O código pode falhar ao fornecer vetores linearmente independentes nos casos em que é possível fazê-lo (esse programa normalmente seria considerado quebrado), mas Martin disse que não é necessário.

Python 2, 198 bytes

a,b,c,d=input()
H=(a+d)/2
D=(H*H-a*d+b*c)**.5
X,Y=H+D,H-D
p,q,r,s=[[1,0,0,1],[b,X-a,b,Y-a],[X-d,c,Y-d,c]][2*(c!=0)or(b!=0)]
A=abs
V=A(A(p)+A(q)*1j)
W=A(A(r)+A(s)*1j)
print[X,Y],[[p/V,q/V],[r/W,s/W]]

Entrada é uma lista simples de 4 números complexos via STDIN, por exemplo

[0.0+0j, 0.4+0j, -0.1+0j, -0.4+0j]

Observe que o Python usa em jvez de inúmeros complexos.

A saída é duas listas, a primeira contendo os valores próprios e a segunda contendo os vetores próprios, por exemplo,

[(-0.2+0j), (-0.2+0j)]
[[(0.8944271909999159+0j), (-0.4472135954999579+0j)], [(0.8944271909999159+0j), (-0.4472135954999579+0j)]]

(nova linha inserida para maior clareza)

Lua, 462 455 431 427 bytes

Não há matemática complexa interna em Lua. Nenhuma operação de vetor também. Tudo teve que ser rolado à mão.

a,b,c,d,e,f,g,h=...x=math.sqrt z=print i=a-g j=b-h
k=(i^2-j^2)/2+2*(c*e-d*f)m=x(k^2+(i*j+2*(c*f+d*e))^2)n=x(m+k)o=x(m-k)i=(a+g+n)/2
j=(b+h+o)/2 k=(a+g-n)/2 l=(b+h-o)/2 z(i,j,k,l)q=c^2+d^2 r=e^2+f^2 s=q+r if s==0
then z(1,0,0,0,0,0,1,0)else if r==0 then m,n,o,p=c,d,c,d c,d=i-a,j-b e,f=k-a,l-b
u=x(q+c^2+d^2)v=x(q+e^2+f^2)else m,n=i-g,j-h o,p=k-g,l-h c,d=e,f
u=x(r+m^2+n^2)v=x(r+o^2+p^2)end z(m/u,n/u,o/v,p/v,c/u,d/u,e/v,f/v)end

Execute na linha de comando com os seguintes argumentos:

lua eigen.lua Re(a) Im(a) Re(b) Im(b) Re(c) Im(c) Re(d) Im(d)

Produz a seguinte saída:

Re(lambda1) Im(lambda1) Re(lambda2) Im(lambda2)
Re(v11) Im(v11) Re(v12) Im(v12) Re(v21) Im(v21) Re(v22) Im(v22)

... para a, b, c, d os 4 componentes da matriz de entrada, lambda1 e lambda2, os dois autovalores, v11, v21, o primeiro autovetor da unidade e v12, v22, o autovetor da segunda unidade. Por exemplo,

lua eigen.lua 1 0  1 0  1 0  0 0

... produz ...

1.6180339887499 0   -0.61803398874989   0
0.85065080835204    0   -0.52573111211913   0   0.52573111211913    0   0.85065080835204    0