Dado:

• Um número natural S .
• Uma lista de N pesos racionais W que somam 1.

Retorne uma lista L de N números inteiros não negativos, de modo que:

(1) sum(L) = S
(2) sum((S⋅W_i - L_i)^2) is minimal

Em outras palavras, aproxime S⋅W_is com números inteiros o mais próximo possível.

Exemplos:

1 [0.4 0.3 0.3] = [1 0 0]
3 [0 1 0] = [0 3 0]
4 [0.3 0.4 0.3] = [1 2 1]
5 [0.3 0.4 0.3] = [2 2 1] or [1 2 2] but not [1 3 1]
21 [0.3 0.2 0.5] = [6 4 11]
5 [0.1 0.2 0.3 0.4] = [1 1 1 2] or [0 1 2 2]
4 [0.11 0.3 0.59] = [1 1 2]
10 [0.47 0.47 0.06] = [5 5 0]
10 [0.43 0.43 0.14] = [4 4 2]
11 [0.43 0.43 0.14] = [5 5 1]

Regras:

• Você pode usar qualquer formato de entrada ou apenas fornecer uma função que aceite a entrada como argumentos.

Fundo:

Esse problema surge ao exibir S de diferentes tipos de itens em diferentes proporções W _i com relação aos tipos.

Outro exemplo desse problema é a representação política proporcional, veja o paradoxo da repartição . Os dois últimos casos de teste são conhecidos como paradoxo do Alabama.

Como estatístico, reconheci esse problema como equivalente a um problema encontrado na identificação de tamanhos de amostras ao conduzir uma amostra estratificada. Nessa situação, queremos tornar a proporção de cada estrato na amostra igual à proporção de cada estrato na população. - @tomi

APL, 21

{{⍵+1=⍋⍋⍵-⍺}⍣⍺/⍺0×⊂⍵}

Esta é uma tradução da resposta CJam de 37 bytes do aditsu .

Teste online .

Explicação

 {      ⍵-⍺}            ⍝ Right argument - left argument.
 {  1=⍋⍋⍵-⍺}            ⍝ Make one of the smallest number 1, others 0.
 {⍵+1=⍋⍋⍵-⍺}            ⍝ Add the result and the right argument together.
 {⍵+1=⍋⍋⍵-⍺}⍣⍺          ⍝ Repeat that S times. The result of each iteration is the new right argument.
                  ⊂⍵    ⍝ Return enclosed W, which is taken as one unit in APL.
               ⍺0×⊂⍵    ⍝ Return S*W and 0*W.
{{⍵+1=⍋⍋⍵-⍺}⍣⍺/⍺0×⊂⍵}   ⍝ Make S*W the left argument, 0*W the right argument in the first iteration.

Python 2, 95 83 132 125 143

Meu primeiro (e segundo) (e terceiro) algoritmo teve problemas e, após uma (outra!) Reescrita e mais testes, aqui está (eu realmente espero) uma solução correta e rápida:

def a(b,h):
 g=h;c=[];d=[]
 for w in b:f=int(w*h);d+=[f];c+=[h*w-f];g-=f
 if g:
  for e in sorted(c)[-g:]:i=c.index(e);c[i]=2;d[i]+=1
 return d

A fonte antes do minificador agora se parece com:

# minified 143 bytes
def golfalloc(weights, num):
    # Tiny seq alloc for golfing
    gap = num;
    errors = [];
    counts = []
    for w in weights :
        count = int(w*num);
        counts += [count];
        errors += [num*w - count];
        gap -= count
    if gap:
        for e in sorted(errors)[-gap:] :
            i = errors.index(e);
            errors[i] = 2;
            counts[i] += 1
    return counts

Os testes retornam:

Pass                    Shape    N               Result Error                        AbsErrSum
ok            [0.4, 0.3, 0.3]    1            [1, 0, 0] -0.60,+0.30,+0.30                 1.20
ok                  [0, 1, 0]    3            [0, 3, 0] +0.00,+0.00,+0.00                 0.00
ok            [0.3, 0.4, 0.3]    4            [1, 2, 1] +0.20,-0.40,+0.20                 0.80
ok            [0.3, 0.4, 0.3]    5            [2, 2, 1] -0.50,+0.00,+0.50                 1.00
ok            [0.3, 0.2, 0.5]   21           [6, 4, 11] +0.30,+0.20,-0.50                 1.00
ok       [0.1, 0.2, 0.3, 0.4]    5         [1, 1, 1, 2] -0.50,+0.00,+0.50,+0.00           1.00
ok          [0.11, 0.3, 0.59]    4            [1, 1, 2] -0.56,+0.20,+0.36                 1.12
ok         [0.47, 0.47, 0.06]   10            [5, 5, 0] -0.30,-0.30,+0.60                 1.20
ok         [0.43, 0.43, 0.14]   10            [4, 4, 2] +0.30,+0.30,-0.60                 1.20
ok         [0.43, 0.43, 0.14]   11            [5, 5, 1] -0.27,-0.27,+0.54                 1.08

Este algoritmo é semelhante a outras respostas aqui. É O (1) para num, portanto, tem o mesmo tempo de execução para os números 10 e 1000000. Teoricamente, é O (nlogn) para o número de pesos (por causa da classificação). Se isso suportar todos os outros casos de entrada complicados, ele substituirá o algoritmo abaixo na minha caixa de ferramentas de programação.

Por favor, não use esse algoritmo com nada que não seja golfe. Fiz concessões na velocidade para minimizar o tamanho da fonte. O código a seguir usa a mesma lógica, mas é muito mais rápido e mais útil:

def seqalloc(anyweights, num):
    # Distribute integer num depending on weights.
    # weights may be non-negative integers, longs, or floats.
    totalbias = float(sum(anyweights))
    weights = [bias/totalbias for bias in anyweights]
    counts = [int(w*num) for w in weights]
    gap = num - sum(counts)
    if gap:
        errors = [num*w - q for w,q in zip(weights, counts)]
        ordered = sorted(range(len(errors)), key=errors.__getitem__)
        for i in ordered[-gap:]:
            counts[i] += 1
    return counts

O valor de num não afeta significativamente a velocidade. Eu testei com valores de 1 a 10 ^ 19. O tempo de execução varia linearmente com o número de pesos. No meu computador, são necessários 0,15 segundo com 10 ^ 5 pesos e 15 segundos com 10 ^ 7 pesos. Observe que os pesos não estão restritos a frações que somam um. A técnica de classificação usada aqui também é duas vezes mais rápida que o sorted((v,i) for i,v in enumerate...)estilo tradicional .

Algoritmo Original

Esta foi uma função na minha caixa de ferramentas, modificada um pouco para o golfe. Foi originalmente de uma resposta SO . E está errado.

def seqalloc(seq, num):
    outseq = []
    totalw = float(sum(seq))
    for weight in seq:
        share = int(round(num * weight / totalw)) if weight else 0
        outseq.append(share)
        totalw -= weight
        num -= share
    return outseq

Ele fornece uma aproximação, mas nem sempre é correto, embora a soma (outseq) == num seja mantida. Rápido, mas não recomendado.

Agradecemos a @alephalpha e @ user23013 por detectar os erros.

EDIT: Defina o totalw (d) como 1, pois OP especifica que a soma dos pesos será sempre 1. Agora, 83 bytes.

EDIT2: Corrigido o erro encontrado para [0,4, 0,3, 0,3], 1.

EDIT3: algoritmo defeituoso abandonado. Adicionado melhor.

EDIT4: Isso está ficando ridículo. Substituído pelo algoritmo correto (eu realmente espero que sim).

EDIT5: Adicionado código não-golfy para outras pessoas que desejam usar esse algoritmo.

Mathematica, 67 50 46 45 caracteres

f=(b=⌊1##⌋;b[[#~Ordering~-Tr@#&[b-##]]]++;b)&

Ungolfed:

f[s_, w_] := Module[{a = s*w, b, c, d},
  b = Floor[a];
  c = b - a;
  d = Ordering[c, -Total[c]];
  b[[d]] += 1;
  b]

Exemplo:

f[5,{0.1,0.2,0.3,0.4}]

{1, 1, 1, 2}

CJam - 37

q~:W,0a*\:S{[_SWf*]z::-_:e<#_2$=)t}*p

Experimente online

Explicação:

q~             read and evaluate the input
               (pushing the number and the array on the stack)
:W,            save the array in variable W and calculate its length (N)
0a*            make an array of N zeros (the initial "L")
\:S            swap it with the number and save the number in S
{…}*           execute the block S times
    [_SWf*]    make a matrix with 2 rows: "L" and S*W
    z          transpose the matrix, obtaining rows of [L_i S*W_i]
    ::-_       convert to array of L_i-S*W_i and duplicate
    :e<        get the smallest element
    #          find its index in the unsorted array,
               i.e. the "i" with the largest S*W_i-L_i
    _2$=)t     increment L_i
p              print the result nicely

Notas:

• A complexidade é sobre O (S * N), então fica muito lenta para S grandes
• O CJam carece de operadores aritméticos para 2 matrizes, algo que planejo implementar posteriormente

Idéia diferente - 46

q~:Sf*_:m[_:+S\-@[1f%_,,]z{0=W*}$<{1=_2$=)t}/p

Experimente online

Isso é muito mais direto e eficiente, mas, infelizmente, um pouco mais. A idéia aqui é começar com L_i = piso (S * W_i), determinar a diferença (digamos D) entre S e sua soma, encontrar os índices D com a maior parte fracionária de S * W_i (classificando e tomando D superior) e incremente L_i para esses índices. Complexidade O (N * log (N)).

JavaScript (ES6) 126 130 104 115 156 162 194

Depois de todos os comentários e casos de teste na resposta do @ CarpetPython, voltemos ao meu primeiro algoritmo. Infelizmente, a solução inteligente não funciona. A implementação encurtou um pouco, ainda tenta todas as soluções possíveis, calcula a distância ao quadrado e mantém o mínimo.

Editar Para cada elemento de saída com peso w, 'todos' os valores possíveis são apenas 2: trunc (w * s) e trunc (w * s) +1, portanto, existem apenas (2 ** elemensts) soluções possíveis para tentar.

Q=(s,w)=>
  (n=>{
    for(i=0;
        r=q=s,(y=i++)<1<<w.length;
        q|r>n||(n=r,o=t))
      t=w.map(w=>(f=w*s,q-=d=0|f+(y&1),y/=2,f-=d,r+=f*f,d));
  })()||o

Teste no console Firefox / FireBug

;[[ 1,  [0.4, 0.3, 0.3]      ]
, [ 3,  [0, 1, 0]            ]
, [ 4,  [0.3, 0.4, 0.3]      ]
, [ 5,  [0.3, 0.4, 0.3]      ]
, [ 21, [0.3, 0.2, 0.5]      ]
, [ 5,  [0.1, 0.2, 0.3, 0.4] ]
, [ 4,  [0.11, 0.3, 0.59]    ]
, [ 10, [0.47, 0.47, 0.06]   ]
, [ 10, [0.43, 0.43, 0.14]   ]
, [ 11, [0.43, 0.43, 0.14]   ]]
.forEach(v=>console.log(v[0],v[1],Q(v[0],v[1])))

Resultado

1 [0.4, 0.3, 0.3] [1, 0, 0]
3 [0, 1, 0] [0, 3, 0]
4 [0.3, 0.4, 0.3] [1, 2, 1]
5 [0.3, 0.4, 0.3] [1, 2, 2]
21 [0.3, 0.2, 0.5] [6, 4, 11]
5 [0.1, 0.2, 0.3, 0.4] [0, 1, 2, 2]
4 [0.11, 0.3, 0.59] [1, 1, 2]
10 [0.47, 0.47, 0.06] [5, 5, 0]
10 [0.43, 0.43, 0.14] [4, 4, 2]
11 [0.43, 0.43, 0.14] [5, 5, 1]

Essa é uma solução mais inteligente. Passagem única na matriz de peso.
Para cada passagem, encontro o valor máximo atual em w. Eu mudo esse valor no lugar com o valor inteiro ponderado (arredondado para cima), portanto, se s == 21 ew = 0,4, obtemos 0,5 * 21 -> 10,5 -> 11. Eu armazeno esse valor negado, por isso não pode seja encontrado como max no próximo loop. Então, reduzo a soma total de acordo (s = s-11) e também reduzo o total de pesos na variável f.
O loop termina quando não há um máximo acima de 0 a ser encontrado (todos os valores! = 0 foram gerenciados).
Por fim, retorno os valores alterados para positivo novamente. Aviso: este código modifica a matriz de pesos no local, portanto deve ser chamada com uma cópia da matriz original

F=(s,w)=>
 (f=>{
  for(;j=w.indexOf(z=Math.max(...w)),z>0;f-=z)
    s+=w[j]=-Math.ceil(z*s/f);
 })(1)||w.map(x=>0-x)

Minha primeira tentativa

Não é uma solução inteligente. Para cada resultado possível, avalia a diferença e mantém o mínimo.

F=(s,w,t=w.map(_=>0),n=NaN)=>
  (p=>{
    for(;p<w.length;)
      ++t[p]>s?t[p++]=0
      :t.map(b=>r+=b,r=p=0)&&r-s||
        t.map((b,i)=>r+=(z=s*w[i]-b)*z)&&r>n||(n=r,o=[...t])
  })(0)||o

Ungolfed And Explained

F=(s, w) =>
{
  var t=w.map(_ => 0), // 0 filled array, same size as w
      n=NaN, // initial minumum NaN, as "NaN > value"  is false for any value
      p, r
  // For loop enumerating from [1,0,0,...0] to [s,s,s...s]
  for(p=0; p<w.length;)
  {
    ++t[p]; // increment current cell
    if (t[p] > s)
    {
      // overflow, restart at 0 and point to next cell
      t[p] = 0;
      ++p;
    }
    else
    {
      // increment ok, current cell is the firts one
      p = 0;
      r = 0;
      t.map(b => r += b) // evaluate the cells sum (must be s)
      if (r==s)
      {
        // if sum of cells is s
        // evaluate the total squared distance (always offset by s, that does not matter)
        t.map((b,i) => r += (z=s*w[i]-b)*z) 
        if (!(r > n))
        {
          // if less than current mininum, keep this result
          n=r
          o=[...t] // copy of t goes in o
        }
      }
    }
  }
  return o
}

CJam, 48 bytes

Uma solução direta para o problema.

q~:Sf*:L,S),a*{m*{(+}%}*{1bS=},{L]z::-Yf#:+}$0=p

A entrada é como

[0.3 0.4 0.3] 4

Explicação:

q~:S                                 "Read and parse the input, store sum in S";
    f*:L                             "Do S.W, store the dot product in L";
         S),                         "Get array of 0 to S";
        ,   a*                       "Create an array with N copies of the above array";
              {m*{(+}%}*             "Get all possible N length combinations of 0 to S ints";
                        {1bS=},      "Filter to get only those which sum up to S";
{L]z::-Yf#:+}$                       "Sort them based on (S.W_i - L_i)^2 value";
 L                                   "Put the dot product after the sum combination";
  ]z                                 "Wrap in an array and transpose";
    ::-                              "For each row, get difference, i.e. S.W_i - L_i";
       Yf#                           "Square every element";
          :+                         "Take sum";
              0=p                    "After sorting on sum((S.W_i - L_i)^2), take the";
                                     "first element, i.e. smallest sum and print it";

Experimente online aqui

Pitão: 40 bytes

Mhosm^-*Ghded2C,HNfqsTGmms+*G@Hb}bklHyUH

Isso define uma função gcom 2 parâmetros. Você pode chamar assim Mhosm^-*Ghded2C,HNfqsTGmms+*G@Hb}bklHyUHg5 [0.1 0.2 0.3 0.4.

Experimente online: Pyth Compiler / Executor

Explicação:

mms+*G@Hb}bklHyUH     (G is S, H is the list of weights)
m             yUH    map each subset k of [0, 1, ..., len(H)-1] to:
 m          lH          map each element b of [0, 1, ..., len(H)-1] to: 
    *G@Hb                  G*H[b]
   +     }bk               + b in k
  s                       floor(_)

Isso cria todas as soluções possíveis L, onde L[i] = floor(S*W[i])ou L[i] = floor(S*W[i]+1). Por exemplo, a entrada 4 [0.3 0.4 0.3cria [[1, 1, 1], [2, 1, 1], [1, 2, 1], [1, 1, 2], [2, 2, 1], [2, 1, 2], [1, 2, 2], [2, 2, 2]].

fqsTG...  
f    ... only use the solutions, where
 qsTG       sum(solution) == G

Apenas [[2, 1, 1], [1, 2, 1], [1, 1, 2]]permaneça.

Mhosm^-*Ghded2C,HN
  o                  order the solutions by
   s                   the sum of 
    m         C,HN       map each element d of zip(H, solution) to
     ^-*Ghded2           (G*d[0] - d[1])^2
 h                   use the first element (minimum)
M                    define a function g(G,H): return _

Mathematica 108

s_~f~w_:=Sort[{Tr[(s*w-#)^2],#}&/@ 
Flatten[Permutations/@IntegerPartitions[s,{Length@w},0~Range~s],1]][[1,2]]

f[3, {0, 1, 0}]
f[4, {0.3, 0.4, 0.3}]
f[5, {0.3, 0.4, 0.3}]
f[21, {0.3, 0.2, 0.5}]
f[5, {0.1, 0.2, 0.3, 0.4}]

{0, 3, 0}
{1, 2, 1}
{1, 2, 2}
{6, 4, 11}
{0, 1, 2, 2}

Explicação

Ungolfed

f[s_,w_]:=
Module[{partitions},
partitions=Flatten[Permutations/@IntegerPartitions[s,{Length[w]},Range[0,s]],1];
Sort[{Tr[(s *w-#)^2],#}&/@partitions][[1,2]]]

IntegerPartitions[s,{Length@w},0~Range~s]retorna todas as partições inteiras de s, usando elementos retirados do conjunto {0, 1, 2, ...s}com a restrição de que a saída deve conter o mesmo número de elementos que o conjunto de pesos w,.

Permutations fornece todas as disposições ordenadas de cada partição inteira.

{Tr[(s *w-#)^2],#}retorna uma lista de pares ordenados, {error, permutation} para cada permutação.

Sort[...] classifica a lista de {{error1, permutation1},{error2, permutation2}...according to the size of the error.

[[1,2]]]ou Part[<list>,{1,2}]retorna o segundo item do primeiro elemento na lista classificada de {{error, permutation}...}. Em outras palavras, ele retorna a permutação com o menor erro.

R, 85 80 76

Usa o método Hare Quota.

Removemos um casal depois de ver a especificação que W somará 1

function(a,b){s=floor(d<-b*a);s[o]=s[o<-rev(order(d%%1))[0:(a-sum(s))]]+1;s}

Execução de teste

> (function(a,b){s=floor(d<-b/(sum(b)/a));s[o]=s[o<-rev(order(d%%1))[0:(a-sum(s))]]+1;s})(3,c(0,1,0))
[1] 0 3 0
> (function(a,b){s=floor(d<-b/(sum(b)/a));s[o]=s[o<-rev(order(d%%1))[0:(a-sum(s))]]+1;s})(1,c(0.4,0.3,0.3))
[1] 1 0 0
> (function(a,b){s=floor(d<-b/(sum(b)/a));s[o]=s[o<-rev(order(d%%1))[0:(a-sum(s))]]+1;s})(4,c(0.3, 0.4, 0.3))
[1] 1 2 1
> (function(a,b){s=floor(d<-b/(sum(b)/a));s[o]=s[o<-rev(order(d%%1))[0:(a-sum(s))]]+1;s})(5,c(0.3, 0.4, 0.3))
[1] 1 2 2
> (function(a,b){s=floor(d<-b/(sum(b)/a));s[o]=s[o<-rev(order(d%%1))[0:(a-sum(s))]]+1;s})(21,c(0.3, 0.2, 0.5))
[1]  6  4 11
> (function(a,b){s=floor(d<-b/(sum(b)/a));s[o]=s[o<-rev(order(d%%1))[0:(a-sum(s))]]+1;s})(5,c(0.1,0.2,0.3,0.4))
[1] 1 1 1 2
>

Python, 139 128 117 bytes

def f(S,W):
 L=(S+1,0,[]),
 for n in W:L=[(x-i,y+(S*n-i)**2,z+[i])for x,y,z in L for i in range(x)]
 return min(L)[2]

Solução de itertools anterior, 139 bytes

from itertools import*
f=lambda S,W:min((sum(x)!=S,sum((S*a-b)**2for a,b in zip(W,x)),list(x))for x in product(*tee(range(S+1),len(W))))[2]

Oitava, 87 76

Golfe:

function r=w(s,w)r=0*w;for(i=1:s)[m,x]=max(s*w-r);r(x)+=1;endfor endfunction

Ungolfed:

function r=w(s,w)
  r=0*w;   # will be the output
  for(i=1:s)
    [m,x]=max(s*w-r);
    r(x)+=1;
  endfor
endfunction

(Blasted "endfor" e "endfunction"! Eu nunca vencerei, mas gosto de jogar golfe com uma linguagem "real".)

T-SQL, 167 265

Porque eu gosto de tentar fazer esses desafios em uma consulta também.

Transformado em uma função embutida para melhor ajustar a especificação e criou um tipo para os dados da tabela. Custou um pouco, mas isso nunca seria um candidato. Cada instrução precisa ser executada separadamente.

CREATE TYPE T AS TABLE(A INT IDENTITY, W NUMERIC(9,8))
CREATE FUNCTION W(@ int,@T T READONLY)RETURNS TABLE RETURN SELECT CASE WHEN i<=@-SUM(g)OVER(ORDER BY(SELECT\))THEN g+1 ELSE g END R,A FROM(SELECT A,ROW_NUMBER()OVER(ORDER BY (W*@)%1 DESC)i,FLOOR(W*@)g FROM @T)a

Em uso

DECLARE @ INT = 21
DECLARE @T T
INSERT INTO @T(W)VALUES(0.3),(0.2),(0.5)
SELECT R FROM dbo.W(@,@T) ORDER BY A

R
---------------------------------------
6
4
11