Dado um número inteiro positivo n, a soma dos primeiros n dígitos decimais da parte fracionária de π ⁿ .

Exemplo de entradas e saídas:

1 → 1
2 → 14
3 → 6
4 → 13
5 → 24
50 → 211
500 → 2305
5000 → 22852

Funções internas que calculam dígitos de π ou avaliam séries de potência ou frações contínuas não são permitidas. Aplicam-se brechas padrão . A entrada / saída pode estar em um formato conveniente (stdin, stdout, função de entrada / saída, etc.).

O código mais curto em bytes vence.

Python - 191 bytes

t=i=1L;k=n=input();f=2000*20**n;A=range(n+1)
for k in range(2,n):A=[(A[j-1]+A[j+1])*j>>1for j in range(n-k+1)];f*=k
while k:k=(1-~i*n%4)*f/A[1]/i**n;t+=k;i+=2
print sum(map(int,`t`[-n-4:-4]))

~ Versão 4x mais rápida - 206 bytes

t=i=1L;k=n=input();f=2000*20**n;A=[0,1]+[0]*n
for k in range(1,n):
 f*=k
 for j in range(-~n/2-k+1):A[j]=j*A[j-1]+A[j+1]*(j+2-n%2)
while k:k=(1-~i*n%4)*f/A[1]/i**n;t+=k;i+=2
print sum(map(int,`t`[-n-4:-4]))

A entrada é retirada do stdin. A saída para n = 5000 leva aproximadamente 14s com o segundo script (ou 60s com o primeiro).

Uso da amostra:

$ echo 1 | python pi-trunc.py
1

$ echo 2 | python pi-trunc.py
14

$ echo 3 | python pi-trunc.py
6

$ echo 4 | python pi-trunc.py
13

$ echo 5 | python pi-trunc.py
24

$ echo 50 | python pi-trunc.py
211

$ echo 500 | python pi-trunc.py
2305

$ echo 5000 | python pi-trunc.py
22852

A fórmula usada é a seguinte:

onde A _n é o n ^th alternada número , que pode ser formalmente definida como o número de permutações alternada com um conjunto de tamanho N (ver também: A000111 ). Alternativamente, a sequência pode ser definida como a composição dos Números Tangentes e Secantes ( A _2n = S _n , A _{2n + 1} = T _n ), mais sobre isso mais tarde.

O pequeno fator de correção c _n converge rapidamente para 1 quando n se torna grande e é dado por:

Para n = 1 , isso equivale a avaliar a série Leibniz . Aproximando π como 10 ^½ , o número de termos necessários pode ser calculado como:

que converge (arredondado) para 17 , embora valores menores de n exijam consideravelmente mais.

Para o cálculo de A _n existem vários algoritmos e até uma fórmula explícita, mas todos eles são quadráticos por n . Eu originalmente codifiquei uma implementação do Algoritmo de Seidel , mas ela se torna muito lenta para ser prática. Cada iteração requer que um termo adicional seja armazenado, e os termos aumentam em magnitude muito rapidamente (o tipo "errado" de O (n ² ) ).

O primeiro script usa uma implementação de um algoritmo originalmente dado por Knuth e Buckholtz :

Seja T _{1, k} = 1 para todos k = 1..n

Os valores subsequentes de T são dados pela relação de recorrência:

T _{n + 1, k} = 1/2 [ (k - 1) T _{n, k-1} + (k + 1) T _{n, k + 1} ]

Um _n é então dado por T _{n, 1}

(veja também: A185414 )

Embora não esteja explicitamente declarado, esse algoritmo calcula os números tangentes e secantes simultaneamente. O segundo script usa uma variação desse algoritmo de Brent e Zimmermann , que calcula T ou S , dependendo da paridade de n . A melhoria é quadrática em n / 2 , daí a melhoria da velocidade em ~ 4x.

Python 2, 246 bytes

Adotei uma abordagem semelhante à minha resposta em Calcular π com convergência quadrática . A última linha toma a enésima potência de pi e soma os dígitos. O teste N = 5000 leva cerca de um minuto.

from decimal import*
d=Decimal
N=input()
getcontext().prec=2*N
j=d(1)
h=d(2)
f=h*h
g=j/h
a=j
b=j/h.sqrt()
t=j/f
p=j
for i in bin(N)[2:]:e=a;a,b=(a+b)/h,(a*b).sqrt();c=e-a;t-=c*c*p;p+=p
k=a+b
l=k*k/f/t
print sum(map(int,`l**N`.split('.')[1][:N]))

Alguns testes:

$ echo 1 | python soln.py
1
$ echo 3 | python soln.py
6
$ echo 5 | python soln.py
24
$ echo 500 | python soln.py
2305
$ echo 5000 | python soln.py
22852

O código não destruído:

from decimal import *
d = Decimal

N = input()
getcontext().prec = 2 * N

# constants:
one = d(1)
two = d(2)
four = two*two
half = one/two

# initialise:
a = one
b = one / two.sqrt()
t = one / four
p = one

for i in bin(N)[2:] :
    temp = a;
    a, b = (a+b)/two, (a*b).sqrt();
    pterm = temp-a;
    t -= pterm*pterm * p;
    p += p

ab = a+b
pi = ab*ab / four / t
print sum(map(int, `pi ** N`.split('.')[1][:N]))

Pyth, 33

s<>j^u+/*GHhyHy^TyQr*TQ0ZQT_y*QQQ

Com base nesta resposta por isaacg . Provavelmente poderia ser jogado mais. Lento.

s<>j            Digit sum of...
  ^                 
    u               Evaluate pi = 2 + 1/3*(2 + 2/5*(2 + 3/7*(2 + 4/9*(2 + ...))))
      +
        /
          *GH
          hyH
        y^TyQ       Except we generate a large integer containing 2n digits,
                    rather than a fraction.
      r*TQ0         Experimentally verified that 10*n iterations will give enough
                    precision for 2n digits (# digits correct grows faster than 2n).
      Z
    Q               To the nth power.
  T_y*QQQ         Get the last 2n^2 digits (all the fractional digits) and get the
                  first n fractional digits.