Para uma imagem N por N , encontre um conjunto de pixels de forma que nenhuma distância de separação esteja presente mais de uma vez. Ou seja, se dois pixels são separados por uma distância d , eles são os únicos dois pixels separados por exatamente d (usando distância euclidiana ). Observe que d não precisa ser inteiro.

O desafio é encontrar um conjunto maior desse que qualquer outro.

Especificação

Nenhuma entrada é necessária - para este concurso N será fixado em 619.

_{(Como as pessoas continuam perguntando - não há nada de especial no número 619. Ele foi escolhido para ser grande o suficiente para tornar improvável uma solução ideal e pequeno o suficiente para permitir que uma imagem N por N seja exibida sem que o Stack Exchange a reduza automaticamente. exibido em tamanho máximo de 630 por 630, e decidi ir com a maior prime que não exceda isso.)}

A saída é uma lista separada por espaços de números inteiros.

Cada número inteiro na saída representa um dos pixels, numerados na ordem de leitura em inglês de 0. Por exemplo, para N = 3, os locais seriam numerados nesta ordem:

0 1 2
3 4 5
6 7 8

Você pode enviar informações de progresso durante a execução, se desejar, desde que a saída final da pontuação esteja facilmente disponível. Você pode enviar para STDOUT ou para um arquivo ou o que for mais fácil de colar no Juiz de snippets de pilha abaixo.

Exemplo

N = 3

Coordenadas escolhidas:

(0,0)
(1,0)
(2,1)

Saída:

0 1 5

Ganhando

A pontuação é o número de locais na saída. Das respostas válidas que têm a pontuação mais alta, o mais cedo a publicar resultados com essa pontuação vence.

Seu código não precisa ser determinístico. Você pode postar sua melhor saída.

Áreas relacionadas à pesquisa

(Obrigado a Abulafia pelos links Golomb)

Embora nenhum deles seja o mesmo que esse problema, ambos são semelhantes em conceito e podem fornecer idéias sobre como abordar isso:

• Régua de Golomb : o caso unidimensional.
• Retângulo Golomb : uma extensão bidimensional da régua Golomb. Uma variante do caso NxN (quadrado) conhecida como matriz Costas é resolvida para todos os N.

Observe que os pontos necessários para esta pergunta não estão sujeitos aos mesmos requisitos que um retângulo Golomb. Um retângulo de Golomb se estende do caso unidimensional, exigindo que o vetor de cada ponto um para o outro seja único. Isso significa que pode haver dois pontos separados por uma distância de 2 na horizontal e também dois pontos separados por uma distância de 2 na vertical.

Para esta pergunta, é a distância escalar que deve ser única, portanto não pode haver uma separação horizontal e vertical de 2. Toda solução para essa pergunta será um retângulo de Golomb, mas nem todo retângulo de Golomb será uma solução válida para essa questão.

Limites superiores

Dennis, prestativamente, apontou no bate-papo que 487 é um limite superior na pontuação e deu uma prova:

De acordo com meu código CJam ( 619,2m*{2f#:+}%_&,), existem 118800 números únicos que podem ser escritos como a soma dos quadrados de dois números inteiros entre 0 e 618 (ambos inclusive). n pixels requerem n (n-1) / 2 distâncias únicas entre si. Para n = 488, isso dá 118828.

Portanto, existem 118.800 comprimentos diferentes possíveis entre todos os pixels em potencial na imagem, e a colocação de 488 pixels em preto resultaria em 118.828 comprimentos, o que torna impossível que todos sejam únicos.

Eu ficaria muito interessado em saber se alguém tem uma prova de um limite superior mais baixo do que isso.

Entre os melhores

(Melhor resposta de cada usuário)

Juiz do snippet de pilha

canvas=document.getElementById('canvas');ctx=canvas.getContext('2d');information=document.getElementById('information');problemList=document.getElementById('problemList');width=canvas.width;height=canvas.height;area=width*height;function verify(){stop();checkPoints();}function checkPoints(){valid=true;numbers=[];points=[];lengths=[];lengthDetails=[];duplicatedLengths=[];clearCanvas();rawData=pointData.value;splitData=rawData.split(' ');for(i=0;i<splitData.length;i++){datum=splitData[i];if(datum!==''){n=parseInt(datum);if(n>=area||n<0){valid=false;information.innerHTML='Out of range:'+n;break;}if(numbers.indexOf(n)>-1){valid=false;information.innerHTML='Duplicated value:'+n;break;}numbers.push(n);x=n%width;y=Math.floor(n/width);points.push([x,y]);}}if(valid){ctx.fillStyle='black';for(i=0;i<points.length-1;i++){p1=points[i];x1=p1[0];y1=p1[1];drawPoint(x1,y1);for(j=i+1;j<points.length;j++){p2=points[j];x2=p2[0];y2=p2[1];d=distance(x1,y1,x2,y2);duplicate=lengths.indexOf(d);if(duplicate>-1){duplicatedLengths.push(lengthDetails[duplicate]);duplicatedLengths.push([d,[numbers[i],numbers[j]],[x1,y1,x2,y2]]);}lengths.push(d);lengthDetails.push([d,[numbers[i],numbers[j]],[x1,y1,x2,y2]]);}}p=points[points.length-1];x=p[0];y=p[1];drawPoint(x,y);if(duplicatedLengths.length>0){ctx.strokeStyle='red';information.innerHTML='Duplicate lengths shown in red';problemTextList=[];for(i=0;i<duplicatedLengths.length;i++){data=duplicatedLengths[i];length=data[0];numberPair=data[1];coords=data[2];line(coords);specificLineText='<b>'+length+': '+numberPair[0]+' to '+numberPair[1]+'</b> [('+coords[0]+', '+coords[1]+') to ('+coords[2]+', '+coords[3]+')]';if(problemTextList.indexOf(specificLineText)===-1){problemTextList.push(specificLineText);}}problemText=problemTextList.join('<br>');problemList.innerHTML=problemText;}else{information.innerHTML='Valid: '+points.length+' points';}}}function clearCanvas(){ctx.fillStyle='white';ctx.fillRect(0,0,width,height);}function line(coords){x1=coords[0];y1=coords[1];x2=coords[2];y2=coords[3];ctx.beginPath();ctx.moveTo(x1+0.5,y1+0.5);ctx.lineTo(x2+0.5,y2+0.5);ctx.stroke();}function stop(){information.innerHTML='';problemList.innerHTML='';}function distance(x1,y1,x2,y2){xd=x2-x1;yd=y2-y1;return Math.sqrt(xd*xd+yd*yd);}function drawPoint(x,y){ctx.fillRect(x,y,1,1);}

<input id='pointData' placeholder='Paste data here' onblur='verify()'></input><button>Verify data</button><p id='information'></p><p id='problemList'></p><canvas id='canvas' width='619' height='619'></canvas>

Python 3, 135 136 137

10 6830 20470 47750 370770 148190 306910 373250 267230 354030 30390 361470 118430 58910 197790 348450 381336 21710 183530 305050 2430 1810 365832 99038 381324 39598 262270 365886 341662 15478 9822 365950 44526 58862 24142 381150 31662 237614 118830 380846 7182 113598 306750 11950 373774 111326 272358 64310 43990 200278 381014 165310 254454 12394 382534 87894 6142 750 382478 15982 298326 70142 186478 152126 367166 1162 23426 341074 7306 76210 140770 163410 211106 207962 35282 165266 300178 120106 336110 30958 158 362758 382894 308754 88434 336918 244502 43502 54990 279910 175966 234054 196910 287284 288468 119040 275084 321268 17968 2332 86064 340044 244604 262436 111188 291868 367695 362739 370781 375723 360261 377565 383109 328689 347879 2415 319421 55707 352897 313831 302079 19051 346775 361293 328481 35445 113997 108547 309243 19439 199037 216463 62273 174471 207197 167695 296927

Encontrado usando um algoritmo ganancioso que, em cada estágio, escolhe o pixel válido cujo conjunto de distâncias para os pixels escolhidos se sobrepõe menos ao de outros pixels.

Especificamente, a pontuação é

score(P) = sum(number of pixels with D in its distance set
               for each D in P's distance set)

e o pixel com a menor pontuação é escolhido.

A busca é iniciada com o ponto 10(ie (0, 10)). Esta parte é ajustável, portanto, começar com pixels diferentes pode levar a resultados melhores ou piores.

É um algoritmo bastante lento, então estou tentando adicionar otimizações / heurísticas e, talvez, algum retorno. PyPy é recomendado para velocidade.

Qualquer pessoa que tente criar um algoritmo deve testar N = 10, para o qual eu tenho 9 (mas isso exigiu muitos ajustes e tentativas de diferentes pontos iniciais):

Código

from collections import Counter, defaultdict
import sys
import time

N = 619

start_time = time.time()

def norm(p1, p2):
    return (p1//N - p2//N)**2 + (p1%N - p2%N)**2

selected = [10]
selected_dists = {norm(p1, p2) for p1 in selected for p2 in selected if p1 != p2}
pix2dist = {} # {candidate pixel: {distances to chosen}}
dist2pix = defaultdict(set)

for pixel in range(N*N):
    if pixel in selected:
        continue

    dist_list = [norm(pixel, p) for p in selected]
    dist_set = set(dist_list)

    if len(dist_set) != len(dist_list) or dist_set & selected_dists:
        continue

    pix2dist[pixel] = dist_set

    for dist in dist_set:
        dist2pix[dist].add(pixel)

while pix2dist:
    best_score = None
    best_pixel = None

    for pixel in sorted(pix2dist): # Sorting for determinism
        score = sum(len(dist2pix[d]) for d in pix2dist[pixel])

        if best_score is None or score < best_score:
            best_score = score
            best_pixel = pixel

    added_dists = pix2dist[best_pixel]
    selected_dists |= added_dists
    del pix2dist[best_pixel]
    selected.append(best_pixel)

    for d in added_dists:
        dist2pix[d].remove(best_pixel)

    to_remove = set()
    for pixel in pix2dist:
        new_dist = norm(pixel, best_pixel)

        if (new_dist in selected_dists or new_dist in pix2dist[pixel]
                or added_dists & pix2dist[pixel]):
            to_remove.add(pixel)
            continue

        pix2dist[pixel].add(new_dist)
        dist2pix[new_dist].add(pixel)

    for pixel in to_remove:
        for d in pix2dist[pixel]:
            dist2pix[d].remove(pixel)

        del pix2dist[pixel]

    print("Selected: {}, Remaining: {}, Chosen: ({}, {})".format(len(selected), len(pix2dist),
                                                                 best_pixel//N, best_pixel%N))
    sys.stdout.flush()

print(*selected)
print("Time taken:", time.time() - start_time)

SWI-Prolog, pontuação 131

Um pouco melhor do que a resposta inicial, mas acho que isso fará as coisas começarem um pouco mais. O algoritmo é o mesmo que a resposta do Python, exceto pelo fato de tentar pixels de maneira alternativa, começando com o pixel superior esquerdo (pixel 0), depois o pixel inferior direito (pixel 383160), depois o pixel 1 e o pixel 383159 etc.

a(Z) :-
    N = 619,
    build_list(N,Z).

build_list(N,R) :-
    M is N*N,
    get_list([M,-1],[],L),
    reverse(L,O),
    build_list(N,O,[],[],R).

get_list([A,B|C],R,Z) :-
    X is A - 1,
    Y is B + 1,
    (X =< Y,
    Z = R
    ;
    get_list([X,Y,A,B|C],[X,Y|R],Z)).

build_list(_,[],R,_,R) :- !.
build_list(N,[A|T],R,W,Z) :-
    separated_pixel(N,A,R,W,S),
    is_set(S),
    flatten([W|S],V),!,
    build_list(N,T,[A|R],V,Z)
    ;build_list(N,T,R,W,Z).


separated_pixel(N,A,L,W,R) :-
    separated_pixel(N,A,L,[],W,R).

separated_pixel(N,A,[A|T],R,W,S) :-
        separated_pixel(N,A,T,R,W,S).

separated_pixel(N,A,[B|T],R,W,S) :-
    X is (A mod N - B mod N)*(A mod N - B mod N),
    Y is (A//N - B//N)*(A//N - B//N),
    Z is X + Y,
    \+member(Z,W),
    separated_pixel(N,A,T,[Z|R],W,S).

separated_pixel(_,_,[],R,_,R).

Entrada:

a(A).

Saída:

Z = [202089, 180052, 170398, 166825, 235399, 138306, 126354, 261759, 119490, 117393, 281623, 95521, 290446, 299681, 304310, 78491, 314776, 63618, 321423, 60433, 323679, 52092, 331836, 335753, 46989, 40402, 343753, 345805, 36352, 350309, 32701, 32470, 352329, 30256, 28089, 357859, 23290, 360097, 22534, 362132, 20985, 364217, 365098, 17311, 365995, 15965, 15156, 368487, 370980, 371251, 11713, 372078, 372337, 10316, 373699, 8893, 374417, 8313, 7849, 7586, 7289, 6922, 376588, 6121, 5831, 377399, 377639, 4941, 378494, 4490, 379179, 3848, 379453, 3521, 3420, 379963, 380033, 3017, 380409, 2579, 380636, 2450, 2221, 2006, 381235, 1875, 381369, 381442, 381682, 1422, 381784, 1268, 381918, 1087, 382144, 382260, 833, 382399, 697, 382520, 622, 382584, 382647, 382772, 384, 382806, 319, 286, 382915, 382939, 190, 172, 383005, 128, 383050, 93, 383076, 68, 383099, 52, 40, 383131, 21, 383145, 10, 383153, 4, 383158, 1, 383160, 0]

Imagem do snippet de pilha

Haskell - 115 130 131 135 136

Minha inspiração foi a Peneira de Eratóstenes e, em particular, A Peneira Genuína de Eratóstenes , um artigo de Melissa E. O'Neill da Harvey Mudd College. Minha versão original (que considerou os pontos na ordem do índice) peneirou os pontos extremamente rapidamente; por algum motivo, não me lembro, decidi embaralhar os pontos antes de peneirá-los nesta versão (acho que apenas para facilitar a geração de respostas diferentes usando uma nova semente no gerador aleatório). Como os pontos não estão mais em nenhum tipo de ordem, não há mais nenhuma peneira e, como resultado, leva alguns minutos apenas para produzir essa resposta única de 115 pontos. Um nocaute Vectorprovavelmente seria uma escolha melhor agora.

Portanto, com esta versão como um ponto de verificação, vejo duas ramificações, retornando ao algoritmo “Genuine Sieve” e aproveitando a mônada List para escolha ou trocando as Setoperações por equivalentes Vector.

Edit: Então, para a versão de trabalho dois, eu virei de volta para o algoritmo de peneira, aprimorei a geração de “múltiplos” (eliminando índices ao encontrar pontos nas coordenadas inteiras em círculos com raio igual à distância entre dois pontos, semelhante à geração de múltiplos primos ) e fazendo algumas melhorias constantes no tempo, evitando alguns recálculos desnecessários.

Por alguma razão, não posso recompilar com a criação de perfis ativada, mas acredito que o maior gargalo agora é o retrocesso. Acho que explorar um pouco de paralelismo e simultaneidade produzirá acelerações lineares, mas a exaustão da memória provavelmente me trará uma melhoria de 2x.

Edit: Version 3 meandered um pouco, eu primeiro experimentei com uma heurística em tomar os próximos 𝐧 índices (depois de peneirar de escolhas anteriores) e escolher o que produziu o próximo conjunto de nocaute mínimo. Como acabou sendo muito lento, voltei a um método de força bruta para todo o espaço de pesquisa. Uma idéia para ordenar os pontos à distância de alguma origem veio a mim e levou a uma melhoria em um único ponto (no tempo em que minha paciência durou). Esta versão escolhe o índice 0 como a origem, pode valer a pena tentar o ponto central do plano.

Editar: peguei 4 pontos reordenando o espaço de pesquisa para priorizar os pontos mais distantes do centro. Se você está testando meu código, 135 136 é realmente a segunda terceira solução encontrada. Edição rápida: esta versão parece mais provável de continuar sendo produtiva se deixada em execução. Suspeito que eu possa empatar aos 137 anos e ficar sem paciência esperando por 138.

Uma coisa que notei (que pode ser útil para alguém) é que, se você definir o ponto ordenado no centro do plano (ou seja, remover (d*d -)de originDistance) a imagem formada parecerá um pouco com uma espiral esparsa.

{-# LANGUAGE RecordWildCards #-}
{-# LANGUAGE BangPatterns #-}

module Main where

import Data.Function (on)
import Data.List     (tails, sortBy)
import Data.Maybe    (fromJust)
import Data.Ratio
import Data.Set      (fromList, toList, union, difference, member)

import System.IO

sideLength :: Int
sideLength = 619

data Point = Point {  x :: !Int,  y :: !Int } deriving (Ord, Eq)
data Delta = Delta { da :: !Int, db :: !Int }

euclidean :: Delta -> Int
euclidean Delta{..} = da*da + db*db

instance Eq Delta where
  (==) = (==) `on` euclidean

instance Ord Delta where
  compare = compare `on` euclidean

delta :: Point -> Point -> Delta
delta a b = Delta (min dx dy) (max dx dy)
  where
    dx = abs (x a - x b)
    dy = abs (y a - y b)

equidistant :: Dimension -> Point -> Point -> [Point]
equidistant d a b =
  let
    (dx, dy) = (x a - x b, y a - y b)
    m = if dx == 0 then Nothing else Just (dy % dx)                    -- Slope
    w = if dy == 0 then Nothing else Just $ maybe 0 (negate . recip) m -- Negative reciprocal
    justW = fromJust w -- Moral bankruptcy
    (px, py) = ((x a + x b) % 2, (y a + y b) % 2)                      -- Midpoint
    b0 = py - (justW * px)                                             -- Y-intercept
    f q = justW * q + b0                                               -- Perpendicular bisector
  in
   maybe (if denominator px == 1 then map (Point (numerator px)) [0..d - 1] else [])
         ( map (\q -> Point q (numerator . f . fromIntegral $ q))
         . filter ((== 1) . denominator . f . fromIntegral)
         )
         (w >> return [0..d - 1])

circle :: Dimension -> Point -> Delta -> [Point]
circle d p delta' =
  let
    square = (^(2 :: Int))
    hypoteneuse = euclidean delta'
    candidates = takeWhile ((<= hypoteneuse) . square) [0..d - 1]
    candidatesSet = fromList $ map square [0..d - 1]
    legs = filter ((`member` candidatesSet) . (hypoteneuse -) . square) candidates
    pythagoreans = zipWith Delta legs
                 $ map (\l -> floor . sqrt . (fromIntegral :: Int -> Double) $ hypoteneuse - square l) legs
  in
    toList . fromList $ concatMap (knight p) pythagoreans

knight :: Point -> Delta -> [Point]
knight Point{..} Delta{..} =
    [ Point (x + da) (y - db), Point (x + da) (y + db)
    , Point (x + db) (y - da), Point (x + db) (y + da)
    , Point (x - da) (y - db), Point (x - da) (y + db)
    , Point (x - db) (y - da), Point (x - db) (y + da)
    ]

type Dimension = Int
type Index = Int

index :: Dimension -> Point -> Index
index d Point{..} = y * d + x

point :: Dimension -> Index -> Point
point d i = Point (i `rem` d) (i `div` d)

valid :: Dimension -> Point -> Bool
valid d Point{..} = 0 <= x && x < d
                 && 0 <= y && y < d

isLT :: Ordering -> Bool
isLT LT = True
isLT _  = False

sieve :: Dimension -> [[Point]]
sieve d = [i0 : sieve' is0 [i0] [] | (i0:is0) <- tails . sortBy originDistance . map (point d) $ [0..d*d - 1]]
  where
    originDistance :: Point -> Point -> Ordering
    originDistance = compare `on` ((d*d -) . euclidean . delta (point d (d*d `div` 2)))

    sieve' :: [Point] -> [Point] -> [Delta] -> [Point]
    sieve' []     _  _ = []
    sieve' (i:is) ps ds = i : sieve' is' (i:ps) ds'
      where
        ds' = map (delta i) ps ++ ds
        knockouts = fromList [k | d' <- ds
                                , k  <- circle d i d'
                                , valid d k
                                , not . isLT $ k `originDistance` i
                                ]
            `union` fromList [k | q  <- i : ps
                                , d' <- map (delta i) ps
                                , k  <- circle d q d'
                                , valid d k
                                , not . isLT $ k `originDistance` i
                                ]
            `union` fromList [e | q <- ps
                                , e <- equidistant d i q
                                , valid d e
                                , not . isLT $ e `originDistance` i
                                ]
        is' = sortBy originDistance . toList $ fromList is `difference` knockouts

main :: IO ()
main = do let answers = strictlyIncreasingLength . map (map (index sideLength)) $ sieve sideLength
          hSetBuffering stdout LineBuffering
          mapM_ (putStrLn . unwords . map show) $ answers
  where
    strictlyIncreasingLength :: [[a]] -> [[a]]
    strictlyIncreasingLength = go 0
      where
        go _ []     = []
        go n (x:xs) = if n < length x then x : go (length x) xs else go n xs

Saída

1237 381923 382543 382541 1238 1857 380066 5 380687 378828 611 5571 382553 377587 375113 3705 8664 376356 602 1253 381942 370161 12376 15475 7413 383131 367691 380092 376373 362114 36 4921 368291 19180 382503 26617 3052 359029 353451 29716 382596 372674 352203 8091 25395 12959 382479 381987 35894 346031 1166 371346 336118 48276 2555 332400 46433 29675 380597 13066 382019 1138 339859 368230 29142 58174 315070 326847 56345 337940 2590 382663 320627 70553 19278 7309 82942 84804 64399 5707 461 286598 363864 292161 89126 371267 377122 270502 109556 263694 43864 382957 824 303886 248218 18417 347372 282290 144227 354820 382909 380301 382808 334361 375341 2197 260623 222212 196214 231526 177637 29884 251280 366739 39442 143568 132420 334718 160894 353132 78125 306866 140600 297272 54150 240054 98840 219257 189278 94968 226987 265881 180959 142006 218763 214475

Python 3, pontuação 129

Este é um exemplo de resposta para começar.

Apenas uma abordagem ingênua, percorrendo os pixels em ordem e escolhendo o primeiro pixel que não causa uma distância de separação duplicada, até que os pixels acabem.

Código

width = 619
height = 619
area = width * height
currentAttempt = 0

temporaryLengths = []
lengths = []
points = []
pixels = []
for i in range(area):
    pixels.append(0)


def generate_points():
    global lengths
    while True:
        candidate = vacantPixel()
        if isUnique(candidate):
            lengths += temporaryLengths
            pixels[candidate] = 1
            points.append(candidate)
            print(candidate)
        if currentAttempt == area:
            break
    filename = 'uniquely-separated-points.txt'
    with open(filename, 'w') as file:
        file.write(' '.join(points))


def isUnique(n):
    x = n % width
    y = int(n / width)
    temporaryLengths[:] = []
    for i in range(len(points)):
        point = points[i]
        a = point % width
        b = int(point / width)
        d = distance(x, y, a, b)
        if d in lengths or d in temporaryLengths: 
            return False
        temporaryLengths.append(d)
    return True


def distance(x1, y1, x2, y2):
    xd = x2 - x1
    yd = y2 - y1
    return (xd*xd + yd*yd) ** 0.5


def vacantPixel():
    global currentAttempt
    while True:
        n = currentAttempt
        currentAttempt += 1
        if pixels[n] == 0:
            break
    return n


generate_points()

Saída

0 1 3 7 12 20 30 44 65 80 96 122 147 181 203 251 289 360 400 474 564 592 627 660 747 890 1002 1155 1289 1417 1701 1789 1895 2101 2162 2560 2609 3085 3121 3331 3607 4009 4084 4242 4495 5374 5695 6424 6762 6808 7250 8026 8356 9001 9694 10098 11625 12881 13730 14778 15321 16091 16498 18507 19744 20163 20895 23179 25336 27397 31366 32512 33415 33949 39242 41075 46730 47394 48377 59911 61256 66285 69786 73684 79197 89530 95447 102317 107717 111751 116167 123198 126807 130541 149163 149885 154285 159655 163397 173667 173872 176305 189079 195987 206740 209329 214653 220911 230561 240814 249310 269071 274262 276855 285295 305962 306385 306515 312310 314505 324368 328071 348061 350671 351971 354092 361387 369933 376153

Imagem do snippet de pilha

Python 3, 130

Para comparação, aqui está uma implementação de backtracker recursivo:

N = 619

def norm(p1, p2):
    return (p1//N - p2//N)**2 + (p1%N - p2%N)**2

def solve(selected, dists):
    global best

    if len(selected) > best:
        print(len(selected), "|", *selected)
        best = len(selected)

    for pixel in (range(selected[-1]+1, N*N) if selected else range((N+1)//2+1)):
        # By symmetry, place first pixel in first half of top row
        added_dists = [norm(pixel, p) for p in selected]
        added_set = set(added_dists)

        if len(added_set) != len(added_dists) or added_set & dists:
            continue

        selected.append(pixel)
        dists |= added_set

        solve(selected, dists)

        selected.pop()
        dists -= added_set

print("N =", N)
best = 0
selected = []
dists = set()
solve(selected, dists)

Ele encontra a seguinte solução de 130 pixels rapidamente antes de começar a engasgar:

0 1 3 7 12 20 30 44 65 80 96 122 147 181 203 251 289 360 400 474 564 592 627 660 747 890 1002 1155 1289 1417 1701 1789 1895 2101 2162 2560 2609 3085 3121 3331 3607 4009 4084 4242 4495 5374 5695 6424 6762 6808 7250 8026 8356 9001 9694 10098 11625 12881 13730 14778 15321 16091 16498 18507 19744 20163 20895 23179 25336 27397 31366 32512 33415 33949 39242 41075 46730 47394 48377 59911 61256 66285 69786 73684 79197 89530 95447 102317 107717 111751 116167 123198 126807 130541 149163 149885 154285 159655 163397 173667 173872 176305 189079 195987 206740 209329 214653 220911 230561 240814 249310 269071 274262 276855 285295 305962 306385 306515 312310 314505 324368 328071 348061 350671 351971 354092 361387 371800 376153 378169

Mais importante, estou usando-o para verificar soluções para casos pequenos. Pois N <= 8, o ideal são:

1: 1 (0)
2: 2 (0 1)
3: 3 (0 1 5)
4: 4 (0 1 6 12)
5: 5 (0 1 4 11 23)
6: 6 (0 1 9 23 32 35)
7: 7 (0 2 9 20 21 40 48)
8: 7 (0 1 3 12 22 56 61)
9: 8 (0 1 3 8 15 37 62 77)
10: 9 (0 1 7 12 30 53 69 80 89)

Entre parênteses estão os primeiros ideais lexicográficos.

Não confirmado:

11: 10 (0 2 3 7 21 59 66 95 107 120)
12: 10 (0 1 3 7 33 44 78 121 130 140)

Scala, 132

Digitaliza da esquerda para a direita e de cima para baixo como a solução ingênua, mas tenta iniciar em diferentes locais de pixels.

import math.pow
import math.sqrt

val height, width = 619
val area = height * width

case class Point(x: Int, y: Int)

def generate(n: Int): Set[Point] = {

  def distance(p: Point, q: Point) = {
    def square(x: Int) = x * x
    sqrt(square(q.x - p.x) + square(q.y - p.y))
  }

  def hasDuplicates(s: Seq[_]) = s.toSet.size != s.size

  def rotate(s: Vector[Point]): Vector[Point] = s.drop(n) ++ s.take(n)

  val remaining: Vector[Point] =
    rotate((for (y <- 0 until height; x <- 0 until width) yield { Point(x, y) }).toVector)
  var unique = Set.empty[Point]
  var distances = Set.empty[Double]
  for (candidate <- remaining) {
    if (!unique.exists(p => distances.contains(distance(candidate, p)))) {
      val candidateDistances = unique.toSeq.map(p => distance(candidate, p))
      if (!hasDuplicates(candidateDistances)) {
        unique = unique + candidate
        distances = distances ++ candidateDistances
      }
    }
  }
  unique
}

def print(s: Set[Point]) = {
  def toRowMajor(p: Point) = p.y*height + p.x
  println(bestPixels.map(toRowMajor).toSeq.sorted.mkString(" "))
}

var bestPixels = Set.empty[Point]
for (n <- 0 until area) {                                                                                                                                                                                          
  val pixels = generate(n)
  if (pixels.size > bestPixels.size) bestPixels = pixels
}
print(bestPixels)

Saída

302 303 305 309 314 322 332 346 367 382 398 424 449 483 505 553 591 619 647 680 719 813 862 945 1014 1247 1459 1700 1740 1811 1861 1979 2301 2511 2681 2913 3114 3262 3368 4253 4483 4608 4753 5202 5522 5760 6246 6474 6579 6795 7498 8062 8573 8664 9903 10023 10567 10790 11136 12000 14153 15908 17314 17507 19331 20563 20941 22339 25131 26454 28475 31656 38328 39226 40214 50838 53240 56316 60690 61745 62374 68522 71208 78598 80204 86005 89218 93388 101623 112924 115702 118324 123874 132852 136186 139775 144948 154274 159730 182200 193642 203150 203616 213145 214149 218519 219744 226729 240795 243327 261196 262036 271094 278680 282306 289651 303297 311298 315371 318124 321962 330614 336472 343091 346698 354881 359476 361983 366972 369552 380486 382491

Python, 134 132

Aqui está um simples que seleciona aleatoriamente parte do espaço de pesquisa para cobrir uma área maior. Ele itera os pontos na distância de uma ordem de origem. Ele pula pontos que estão à mesma distância da origem e sai cedo se não puder melhorar o melhor. É executado indefinidamente.

from random import *
from bisect import *

W = H = 619
pts = []
deepest = 0
lengths = set()

def place(x, y):
    global lengths
    pos = (x, y)
    for px, py in pts:
        dist = (x-px)*(x-px) + (y-py)*(y-py)
        if dist in lengths:
            return False
    dists = set((x-px)*(x-px) + (y-py)*(y-py) for px, py in pts)
    if len(dists) != len(pts):
        return False
    lengths |= dists
    pts.append(pos)
    return True

def unplace():
    x, y = pos = pts.pop()
    for px, py in pts:
        dist = (x-px)*(x-px) + (y-py)*(y-py)
        lengths.remove(dist)

def walk(i):
    global deepest, backtrack
    depth = len(pts)
    while i < W*H:
        d, x, y, rem = order[i]
        if rem+depth <= deepest: # early out if remaining unique distances mean we can't improve
            return
        i += 1
        if place(x, y):
            j = i
            while j < W*H and order[j][0] == d: # skip those the same distance from origin
                j += 1
            walk(j)
            unplace()
            if backtrack <= depth:
                break
            if not randint(0, 5): # time to give up and explore elsewhere?
                backtrack = randint(0, len(pts))
                break
            backtrack = W*H # remove restriction
    if depth >= deepest:
        deepest = depth
        print (ox, oy), depth, "=", " ".join(str(y*W+x) for x, y in pts)

try:
    primes = (0,1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97)
    while True:
        backtrack = W*H
        ox, oy = choice(primes), choice(primes) # random origin coordinates
        order = sorted((float((ox-x)**2+(oy-y)**2)+random(), x, y) for x in xrange(W) for y in xrange(H))
        rem = sorted(set(int(o[0]) for o in order)) # ordered list of unique distances
        rem = {r: len(rem)-bisect_right(rem, r) for r in rem} # for each unique distance, how many remain?
        order = tuple((int(d), x, y, rem[int(d)]) for i, (d, x, y) in enumerate(order))
        walk(0)
except KeyboardInterrupt:
    print

Encontra rapidamente soluções com 134 pontos:

3097 3098 2477 4333 3101 5576 1247 9 8666 8058 12381 1257 6209 15488 6837 21674 19212 26000 24783 1281 29728 33436 6863 37767 26665 14297 4402 43363 50144 52624 18651 9996 58840 42792 6295 69950 44351533 106444354154333 113313 88637 122569 11956 36098 79401 61471 135610 31796 4570 150418 57797 4581 125201 151128 115936 165898 127697 162290 33091 20098 189414 187620 186440 91290 206766 35619 69033 351 186511 28902735271527445415415445645435 249115 21544 95185 231226 54354 104483 280665 518 147181 318363 1793 248609 82260 52568 365227 361603 346849 331462 69310 90988 341446 229599 277828 382837 339014 323612 365040 269883 307597 3746347 316282

Para os curiosos, aqui estão alguns pequenos N de força bruta:

3  =  0  2  3
4  =  0  2  4  7
5  =  0  2  5 17 23
6  =  0 12 21 28 29 30
7  =  4  6 11 14 27 36 42
8  =  0  2  8 11 42 55 56
9  =  0  2  9 12 26 50 63 71
10 =  0  2  7 10 35 75 86 89  93
11 =  0 23 31 65 66 75 77 95 114 117

Fantom 96

Eu usei um algoritmo de evolução, basicamente adicione k pontos aleatórios de cada vez, faça isso para j conjuntos aleatórios diferentes, depois escolha o melhor e repita. Resposta bastante terrível no momento, mas é executada com apenas 2 filhos por geração, por uma questão de velocidade, o que é quase aleatório. Vou jogar um pouco com os parâmetros para ver como vai ser, e provavelmente preciso de uma função de pontuação melhor do que o número de vagas livres restantes.

class Pixel
{
  static const Int n := 619
  static const Int stepSize := 20
  static const Int generationSize := 5
  static const |Int, Int -> Int| d := |Int x, Int y -> Int| {
      d1 := x%n - y%n
      d2 := x/n - y/n
      return d1.pow(2) + d2.pow(2)
    }


  public static Void main(){

    //Initialize

    [Int: Int[][]] disMap := [:]
    Int[] freeSpots := (0..<n*n).toList
    Int[] pixels := [,]
    Int[] distances := [,]





    genNum := 0
    children := [,]
    while(freeSpots.size > 0){
      echo("Generation: ${genNum++} \t Spots Left: ${freeSpots.size} \t Pixels added: $pixels.size \t Distances used: $distances.size uniqueDistances: $distances.unique.size" )
      echo(distances)
      echo("Pixels: " + pixels.join(" "))
      //echo("Distances: $distances")
      //Generate children
      children = [,]
      generationSize.times{
        //echo("\tStarting child $it")
        i := Int.random(0..<freeSpots.size)
        childFreeSpots := freeSpots.dup
        childPixels := pixels.dup
        childDistances := distances.dup

        for(Int step := 0; step < stepSize; step++){

          if( i < childFreeSpots.size){
            //Choose a pixel
            pixel := childFreeSpots.removeAt(i)
            //echo("\t\tAdding pixel $pixel")

            //Remove neighbors that are the new distances away
            ///Find distances
            newDis := [,]
            childPixels.each { 
              newDis.add(d(pixel, it))
            }

            //Check that there are no equal distances
            if(newDis.size != newDis.unique.size) continue



            //Remove neighbors
            childPixels.each | Int childPixel|{
              newDis.each |Int dis|{
                neighbors := getNeighbors(childPixel, dis, disMap)
                neighbors.each| Int n |{
                  index := childFreeSpots.binarySearch(n)
                  if(index >= 0) childFreeSpots.removeAt(index)
                }
              }
            }
            //echo("Removed neighbors: $test")
            //Remove all the neighbors of new pixel
            childDistances.addAll(newDis)
            childDistances.each|Int dis| {   
              neighbors := getNeighbors(pixel, dis, disMap)
              childFreeSpots.removeAll(neighbors)
            }

            //Add new pixel
            childPixels.add(pixel)  
          }
        }
        children.add([childPixels.dup, childDistances.dup, childFreeSpots.dup])
        echo("\tChild $it: pixels: $childPixels.size \t distances: $childDistances.size \t freeSpots: $childFreeSpots.size")
      }

      //Score children and keep best one as new parent
      Obj?[][] parent := children.max |Int[][] a, Int[][] b -> Int| { return (a.last.size  + a.first.size*10000) <=> (b.last.size + b.first.size*10000)  }
      pixels = parent.first
      distances = parent[1]
      freeSpots = parent.last

    }//End while


    //Return result
    echo("Size: " + pixels.size)
    echo(pixels.join(" "))





  }

  private static Bool checkValid(Int[] pixels){
    distances := [,]
    pixels[0..-2].each|Int p, Int i|{
      for(Int j := i + 1; j < pixels.size; j++){
        distances.add(d(p, pixels[j]))
      }
    }
    if(distances.size > distances.unique.size){
      echo("Duplicate distance found!!!!")
      echo("Pixel $pixels.last is not valid")
      return false
    }
    return true
  }

  public static Int[] getNeighbors(Int spot, Int distance, [Int : Int[][]] disMap ){
    result := [,]
    //Check hash map
    pairs := disMap.get(distance, null)

    //Find possible int pairs if not already in the map
    if(pairs == null){
      for(Int i := 0; i*i <= distance; i++ ){
        for(Int j := i; j*j + i*i <= distance; j++){
          if(i.pow(2) + j.pow(2) == distance){
            pairs.add([i, j])
          }
        }
      }
      disMap.add(distance, pairs)
    }

    pairs.each|Int[] pair|{
      //Find neighbors with pair
      x := pair.first
      y := pair.last
      2.times{ 
        //Positive x
        result.add(spot + x + y*n)
        result.add(spot + x - y*n)

        //negative x
        result.add(spot - x + y*n)
        result.add(spot - x - y*n)

        //Swap x and y and repeat
        temp := x
        x = y
        y = temp
      }
    }

    return result.findAll |Int i -> Bool| { i >= 0 }.unique
  }

}

Saída

17595 17596 17601 17627 17670 17726 17778 17861 17956 18117 18324 18733 19145 19597 20244 21139 21857 22742 24078 25343 28577 30152 32027 34406 37008 39864 42313 44820 48049 52193 55496 59707 64551 69976 74152 79758 84392 91782 98996 104625 150212 158877 169579 178660 189201 201343 213643 225998 238177 251012 263553 276797 290790 304915 319247 332702 347266 359665 373683 125899 144678 170677 195503 220092 244336 269861 289473 308633 326736 343756 358781 374280 131880 172485 212011 245015 277131 302055 321747 347911 363717 379166 249798 284200 313870 331913 360712 378024 9704 141872 249686 293656 357038 357596 370392 381963

Python 3, 119

Não lembro mais por que nomeei essa função mc_usp , embora suspeite que tenha algo a ver com as cadeias de Markov. Aqui, publico meu código que executei com o PyPy por cerca de 7 horas. O programa tenta criar 100 conjuntos diferentes de pixels, escolhendo aleatoriamente os pixels até verificar cada pixel da imagem e retornar um dos melhores conjuntos.

Em outra nota, em algum momento, deveríamos realmente tentar encontrar um limite superior para N=619488, porque, a partir das respostas aqui, esse número é muito alto. O comentário de Rowan Blush sobre como cada novo ponto n+1pode potencialmente remover 6*npontos com a escolha ideal parecia uma boa idéia. Infelizmente, após a inspeção da fórmula a(1) = 1; a(n+1) = a(n) + 6*n + 1, onde a(n)é o número de pontos removidos após adicionar npontos ao nosso conjunto, essa ideia pode não ser a melhor opção. Verificando quando a(n)é maior que N**2, a(200)sendo maior que 619**2parece promissor, mas a(n)maior que 10**2é a(7)e provamos que 9 é o limite superior real paraN=10. Vou mantê-lo informado enquanto tento melhorar o limite superior, mas todas as sugestões são bem-vindas.

Para a minha resposta. Primeiro, meu conjunto de 119 pixels.

15092 27213 294010 340676 353925 187345 127347 21039 28187 4607 23476 324112 375223 174798 246025 185935 186668 138651 273347 318338 175447 316166 158342 97442 361309 251283 29986 98029 339602 292202 304041 353401 236737 324696 42096 102574 357602 66845 40159 57866 3291 24583 254208 357748 304592 86863 19270 228963 87315 355845 55101 282039 83682 55643 292167 268632 118162 48494 378303 128634 117583 841 178939 20941 161231 247142 110205 211040 90946 170124 362592 327093 336321 291050 29880 279825 212675 138043 344012 187576 168354 28193 331713 329875 321927 129452 163450 1949 186448 50734 14422 3761 322400 318075 77824 36391 31016 33491 360713 352240 45316 79905 376004 310778 382640 383077 359178 14245 275451 362125 268047 23437 239772 299047 294065 46335 112345 382617 79986

Segundo, meu código, que escolhe aleatoriamente um ponto de partida de um octante do quadrado de 619x619 (já que o ponto de partida é igual em rotação e reflexão) e depois todos os outros pontos do resto do quadrado.

import random
import time

start_time = time.time()
print(start_time)

def mc_usp_v3(N, z, k=100, m=1.0):
    """
    At m=1.0, it keeps randomly picking points until we've checked every point. Oh dear.
    """
    ceil = -(-N//2)
    a=random.randint(0,ceil)
    b=random.randint(a,ceil)
    r=[a*N+b]

    best_overall = r[:]
    all_best = []
    best_in_shuffle = r[:]
    num_shuffles = 0
    num_missteps = 0
    len_best = 1

    while num_shuffles < k and len(best_overall) < z:
        dist = []
        missteps = []
        points_left = list(range(N*N))
        points_left.remove(r[0])

        while len_best + num_missteps < m*N*N and len(points_left):
            index = random.randint(0, len(points_left)-1)
            point = points_left[index]
            points_left.pop(index)
            dist, better = euclid(r, point, dist, N)

            if better and len(r) + 1 > len_best:
                r.append(point)
                best_in_shuffle = r[:]
                len_best += 1
            else:
                missteps.append(point)
                num_missteps += 1

        else:
            print(num_shuffles, len(best_overall), len_best, num_missteps, time.time() - start_time)

            num_shuffles += 1
            num_missteps = 0
            missteps = []

            if len(best_in_shuffle) == len(best_overall):
                all_best.append(best_in_shuffle)
                print(best_in_shuffle)

            if len(best_in_shuffle) > len(best_overall):
                best_overall = best_in_shuffle[:]
                all_best = [best_overall]
                print(best_overall)
            a=random.randint(0,ceil)
            b=random.randint(a,ceil)
            r=[a*N+b]
            best_in_shuffle = r[:]
            len_best = 1
    return len(best_overall), all_best

def euclid(point_set, new_point, dist, N):
    new_dist = []
    unique = True
    a,b=divmod(new_point, N)
    for point in point_set:
        c,d=divmod(point, N)
        current_dist = (a-c)**2+(b-d)**2
        if current_dist in dist or current_dist in new_dist:
            unique = False
            break
        new_dist.append(current_dist)
    if unique:
        dist += new_dist
    return dist, unique

def mcusp_format(mcusp_results):
    length, all_best = mcusp_results
    return " ".join(str(i) for i in all_best[0])

print(mcusp_format(mc_usp_v3(10, 20, 100, 1.0)))
print(mcusp_format(mc_usp_v3(619, 488, 100, 1.0)))
print(time.time()-start_time)