fundo

Na última vez, contamos grupos de um determinado tamanho , o que é um problema não trivial.

Desta vez, contaremos apenas grupos abelianos , ou seja, grupos com uma operação comutativa. Formalmente, um grupo (G, ∗) é abeliano se x ∗ y = y ∗ x para todos para x, y em L .

O problema se torna muito mais simples dessa maneira, então vamos contá-los de forma eficiente.

Tarefa

Escreva um programa ou função que aceite um número inteiro não negativo n como entrada e imprima ou retorne o número de grupos abelianos não isomórficos da ordem n .

Uma maneira de calcular o número de grupos - que iremos denotar por A (n) - é observando o seguinte:

• A (0) = 0

• Se p é um primo, A (p ^k ) é igual ao número de partições inteiras de k . (cfr. OEIS A000041 )

• Se n = mk e m e k são co-primos, A (n) = A (m) A (k) .

Você pode usar este ou qualquer outro método de cálculo de A (n) .

Casos de teste

Input               Output
0                   0
1                   1
2                   1
3                   1
4                   2
5                   1
6                   1
7                   1
8                   3
9                   2
10                  1
11                  1
12                  2
13                  1
14                  1
15                  1
16                  5
17                  1
18                  2
19                  1
20                  2
4611686018427387904 1300156
5587736968198167552 155232
9223371994482243049 2

(extraído de OEIS A000688 )

Regras adicionais

• Com tempo suficiente, RAM e um tamanho de registro que pode conter a entrada, seu código deve funcionar (em teoria) para números inteiros arbitrariamente grandes.

• Seu código deve funcionar para todos os números inteiros entre 0 e 2 ⁶³ - 1 e terminar em menos de 10 minutos na minha máquina (Intel i7-3770, 16 GiB de RAM, Fedora 21).

  Verifique seu código dos três últimos casos de teste antes de enviar sua resposta.

• Built-ins que trivializam essa tarefa, como o Mathematica FiniteAbelianGroupCount , não são permitidos.

• Built-ins que retornam ou contam as partições inteiras de um número ou as partições de uma lista não são permitidos.

• Aplicam-se regras padrão de código de golfe .

CJam ( 39 38 bytes)

qimF{~M\{_ee{~\)<1b}%1+a\+}*0=1be&}%:*

Demonstração online

Isso segue a linha sugerida para encontrar uma fatoração principal (mF ) e, em seguida, calcular as partições de cada potência e obter seu produto.

Existem dois casos especiais para mF: fatores 0como 0^1e 1como1^1 . O último não requer tratamento especial: há um grupo abeliano de tamanho 1 e uma partição de 1. No entanto, zero requer um caso especial.

A contagem de partições usa uma recorrência para A008284(n, k)o número de partições nem kpartes. No OEIS é dado como

T(n, k) = Sum_{i=1..k} T(n-k, i), for 1<=k<=n-1; T(n, n) = 1 for n >= 1.

mas acho que é mais útil pensar na soma como variando de 1até min(k, n-k).

Dissecação

q~              e# Parse input into an integer
mF              e# Factorise it
{               e# For each factor p^a
  ~             e#   Split the array [p a]
                e#   The following lines count partitions of a
                e#   (Note: they would be buggy if a were ever 0, but it isn't)
  M\{           e#   Starting with a table of zero rows, repeat a times
    _ee         e#     Copy table and pair each row with its index
    {~\)<1b}%   e#     Extract that prepended index and use it to sum for each j
                e#     the first jth items of row j
    1+          e#     Append a 1 for P(i, i)
    a\+         e#     Prepend the new row to the table (which is stored in reverse)
  }*
  0=1b          e#   Sum the elements in the latest (first) row

  e&            e#   If p was 0 then replace with 0
}%
:*              e# Take the product

CJam, 50 49 47 43 bytes

ri_mF{1=_L{1$0>{,f{):X-Xj}:+}{;!}?}2j}%:*e&

Usa a mFfatoração incorporada do CJam e uma porta memorizada dessa função de número de partição Python:

p=lambda n,x:n==0 or n>0and sum(p(n+~a,a+1)for a in range(x))

ou ungolfed:

def p(n, x): # Call like p(n, n). n is number remaining, x is max part size
  if n > 0:
    return sum(p(n-a-1,a+1)for a in range(x))
  else:
    return (n==0)

Como a resposta de @ RetoKoradi, o último caso leva cerca de 17 segundos no intérprete offline, porque é esse tempo que o CJam leva para fatorar o número. Por isso, deixei de fora desta suíte de testes on - line .

Explicação completa

[Main body]
ri                                Read input and convert to int
  _          e&                   Logical AND input with final result to special case 0 
   mF                             Factorise input into [base, exponent] pairs
     {...}%                       Map, converting each pair to a partition number
           :*                     Take product

[Pair -> partition]
1=_                               Get exponent and copy (n,x in above Python)
   L                              Initialise empty cache
    {                       }2j   Memoise with 2 arguments
     1$0>                         Check if n > 0
         {            }{  }?      Execute first block if yes, else second block
                        ;!        Return (n == 0)
          ,f{      }              For each a in range(x) ...
             ):X-Xj               Call p(n-a-1,a+1) recursively
                    :+            Sum the results

Mathematica, 96 94 88 bytes

f=1##&@@#&;f[SeriesCoefficient[1/f[1-x^Range@#],{x,0,#}]&/@Last/@FactorInteger@#]Sign@#&

Eu não sou tão proficiente com o Mathematica, mas pensei em tentar. Obrigado a @ MartinBüttner por -6 bytes.

Isso usa a fórmula da função geradora para partições inteiras.

CJam, 58 bytes

li_mF{1=_L{_1>{_2$<{\;_j}{\,f{)_@\-j}:+}?}{;;1}?}2j}%:*\g*

Experimente online

O último exemplo de teste leva uma eternidade (ou pelo menos mais do que eu estava disposto a esperar) no intérprete online, mas termina em 17 segundos com a versão offline do CJam no meu laptop. Todos os outros exemplos de teste são praticamente instantâneos.

Isso usa o CJam mF operador , que fornece a fatoração principal com expoentes. O resultado é então o produto da partição conta para cada expoente.

A parte principal do código é calcular a contagem de partições. Eu implementei o algoritmo recursivo na página da Wikipedia , usando o joperador que suporta recursão com memorização.

Explicação:

li    Get input and convert to int.
_     Make a copy to handle 0 special case at the end.
mF    Factorization with exponents.
{     Loop over factors.
  1=    Take exponent from [factor exponent] pair.
  _     Repeat it, recursive calls are initiated with p(n, n).
  L     Empty list as start point of memoization state.
  {     Start recursive block. Argument order is (m, n), opposite of Wikipedia.
    _1>   Check for n > 1.
    {     Start n > 1 case.
      _2$   Copy both m and n.
      <     Check for n < m.
      {     n < m case.
        \;    Pop m.
        _     Copy n.
        j     Make the p(n, n) recursive call.
      }     End n < m case.
      {     Main part of algorithm that makes recursive calls in loop.
        \,    Generate [0 1 ... m-1] range for k.
        f{    Start loop over k.
          )     Increment, since k goes from 1 to m.
          _     Copy k.
          @\    Rotate n to top, and swap. Now have k n k at top of stack.
          -     Subtract, now have k n-k at top of stack.
          j     Make the p(n-k, k) recursive call.
        }     End loop over k.
        :+    Sum up all the values.
      }?    Ternaray operator for n < m condition.
    }     End n > 1 case.
    {     n <= 1 case.
      ;;1   Pop m, n values, and produce 1 as result.
    }?    Ternary operator for n > 1 condition.
  }2j   Recursive call with memoization, using 2 values.
}%    End loop over factors.
:*    Multiply all values.
\     Swap original input to top.
g     Signum.
*     Multiply to get 0 output for 0 input.