A ordem das operações, PEMDAS, é uma regra básica em matemática, indicando-nos quais operações de ordem devem ser executadas:

"Parênteses, expoentes, multiplicação e divisão e adição e subtração"

O problema é que o PEMDAS não é muito versátil! E se você quisesse fazê-lo em outra ordem? Não vamos mexer com os parênteses, então os mantemos onde estão (primeiro).

Crie um programa que aceite dois argumentos:

• Uma cadeia de caracteres, informando qual ordem as operações devem seguir. Alguns exemplos são "DAMES", "SAD, ME", "ME SAD", "MEADS". Sim, espaços e vírgulas estão OK, pois facilita a lembrança do pedido.
  • Seguintes sugestões no bate-papo: O suporte a espaços e vírgulas agora é opcional.
  • Se uma das letras estiver faltando ou se houver mais letras que não deveriam estar lá, você poderá considerar a entrada inválida e tratá-la como desejar.
• Uma sequência ou expressão que contém a expressão que deve ser avaliada.

Retorne o resultado da expressão como um número decimal ou um número inteiro. Se a resposta não for um número inteiro, ela deverá ser retornada como um número decimal.

Regras:

• Não há problema em combinar os dois argumentos de entrada em um, se isso for mais fácil no seu idioma.
• Não precisa ser uma string, mas precisa ter letras. Você não pode substituir Adição por 1, Divisão por 2, etc.
• Você pode escolher qual entrada é a primeira.
• A expressão é avaliada da direita para a esquerda, da esquerda para a direita. (Alteração de regra. Todos os pôsteres de envios nas primeiras 12 horas que tiverem o contrário serão aceitos).
• As operações de utilizar os símbolos: ( ) ^ * / + -. Por exemplo, você não pode usar em ¤vez de +adicionar.
• Os espaços na expressão de entrada não são válidos como entrada
• Unário +/- não é válido como entrada se seguir diretamente + ou -. Considere 3+-2como entrada inválida. Ele pode ser tratado da maneira que você desejar (não precisa gerar um erro). Se +ou -segue qualquer outro operador que mais ou menos, ela é tratada da forma usual: 3*-3 = -9,sin(-2)=-0.909
• O programa deve seguir rigorosamente as letras, então "EMDAS", 1-3+4 => -6, e "EMDSA", 1-3+4 => 2.

Exemplos:

Input:   "EMDAS", "3+6*2/4-1"   // -> 3+12/4-1 -> 3+3-1 -> 6-1 -> 5
Output:  5

Input:   "DAMES", "3+6*2/4-1"   // -> 3+6*0.5-1 -> 9*0.5-1 -> 4.5-1 -> 3.5
Output:  3.5

Input:   "SAD, ME", "3+6*2/4-1"  // -> 3+6*2/3 -> 9*2/3 -> 9*0.66667 -> 6   
Output:  6

Input:   "ME ADS", "3+5^4/2-3*2 // -> 3+5^4/2-6 -> 3+625/2-6 -> 628/2-6 -> 314-6 -> 308
Output:  308

Input:   "AM EDS", "4*3-sin(0.5^2)*3+1" // -> 4*3-sin(0.5^2)*4 -> 12-sin(0.5^2)*4 -> 4*3-(4*sin(0.5^2)) -> 12-(4*sin(0.5^2)) -> 12-(4*sin(0.25)) -> 12-(4*0.24740) -> 12-0.98961 -> 11.01038
Output:  11.01038

Input:   "DAMES", "4-5-6"   // -> (4-5)-6 -> = -7  
Output:  -7                  // NOT: -> 4-(5-6) -> 4-(-1) -> 5

Observe que os parênteses foram adicionados para mostrar que a multiplicação 4*sin(0.5^2)é avaliada antes da exponenciação.

Este é o código golf, portanto o código mais curto em bytes vence.

JavaScript (ES6) 349 353 387 400

... talvez ainda jogável

Este antigo analisador meu às vezes é útil - (já usado em outros 2 desafios)

E=
(d,x,W=[],Q=['_'],h={'(':1,_:8,')':7},z=1,C=n=>{for(;h[q=Q.pop()]<=h[n];W.push(q=='^'?Math.pow(a,b):eval(`a${q}b`)))a=W.pop(b=W.pop());Q.push(q,n)})=>([...d].map(l=>h[l='+-/*^'['ASDME'.search(l)]]=(d+=!!l),d=1),(x+')').replace(/\D|\d+/g,t=>(u=~~h[t])-1?u-7?u?z&&t=='-'?z=-z:C(t,z=1):(W.push(z*t),z=0):Q.pop(Q.pop(C(t),z=0)):z=!!Q.push('_')),W.pop())

// TEST
console.log=(...x)=>O.innerHTML+=x.join` `+'\n'

console.log(E('MDASE','3+4*5^2'))
console.log(E("EMDAS", "3+6*2/4-1")) // 5
console.log(E("DAMES", "3+6*2/4-1")) //3.5
console.log(E("SAD, ME", "3+6*2/4-1")) // 6
console.log(E("ME ADS", "3+5^4/2-3*2")) // 308
console.log(E("AM EDS", "4*3-sin(0.5^2)*3+1")) // 11.01038 sin not supported
console.log(E("DAMES", "4-5-6")) // -7

// MORE READABLE
U=(d,x,W=[],Q=['_'],h={'(':1,_:8,')':7},z=1,
  C=n=>{
    for(;h[q=Q.pop()]<=h[n];
        W.push(q=='^'?Math.pow(a,b):eval(`a${q}b`)))
      a=W.pop(b=W.pop());
    Q.push(q,n)
  }
)=>(
  [...d].map(l=>h[l='+-/*^'['ASDME'.search(l)]]=(d+=!!l),d=1),
  (x+')').replace(/\D|\d+/g,t=> 
     (u=~~h[t])-1
       ?u-7
         ?u
           ?z&&t=='-'?z=-z:C(t,z=1)
           :(W.push(z*t),z=0)
         :Q.pop(Q.pop(C(t),z=0))
       :(Q.push('_'),z=1)
  ),
  W.pop()
)

<pre id=O></pre>

Ungolfed

Evaluate=(oprec,expr)=>
{
  var tokens = expr.match(/\D|\d+/g).concat(')')
  var t,a,b,v, SignV
  var vstack=[]
  var ostack=['_']
  var op={ '(':8, _: 1, ')':2}
  oprec.match(/\w/g).map((l,p)=>op['+-/*^'['ASDME'.search(l)]]=7-p)
  var OPush=o=>ostack.push(o)
  var OPop=_=>ostack.pop()
  var VPush=v=>vstack.push(v)
  var VPop=v=>vstack.pop()

  var Scan=i=>
  {
    SignV = 1
    for (; t=tokens[i++]; )
    {
      if (t == '(')  
      {
        OPush('_')
        SignV = 1
      }
      else if (t == ')')
      {
        CalcOp(t);
        OPop();
        OPop();
        SignV = 0
      }
      else if (op[t])
      {
        if (SignV && t=='-')
          SignV = -SignV
        else
          CalcOp(t), SignV = 1
      }  
      else
      {
        VPush(SignV*t)
        SignV=0
      }
    }
  }
  var CalcOp=nop=>
  {
    for (; op[po = OPop()] >= op[nop];)
      b=VPop(), a=VPop(), CalcV(a,b,po);
    OPush(po), OPush(nop);
  }
  var CalcV=(a,b,o)=>
  {
//    console.log('CV',a,b,o)
    if (o=='+')
      a+=b
    if (o=='-')
      a-=b
    if (o=='*')
      a*=b
    if (o=='/')
      a/=b
    if (o=='^')
      a=Math.pow(a,b)
    VPush(a)
  }
  Scan(0)

  return VPop()
}

console.log=(...x)=>O.innerHTML+=x.join` `+'\n'

console.log(Evaluate('MDASE','3+4*5^2'))
console.log(Evaluate('EMDAS','3+6*2/4-1')) // 5
console.log(Evaluate("DAMES", "3+6*2/4-1")) //3.5
console.log(Evaluate("SAD, ME", "3+6*2/4-1")) // 6
console.log(Evaluate("ME ADS", "3+5^4/2-3*2")) // 308
console.log(Evaluate("AM EDS", "4*3-sin(0.5^2)*3+1")) // 11.01038 sin not supported
console.log(Evaluate("DAMES", "4-5-6")) // -7

<pre id=O></pre>

R 3.3.2: 209 196 187 177 bytes

A idéia é "abusar" dos operadores não aritméticos <, &, |, ~,? onde sabemos a precedência (veja ?Syntaxem R - mas antes da substituição;)) e substituindo-as pelos operadores aritméticos fornecidos. O mapeamento está de acordo com a ordem de operações desejada.

Espaços e vírgulas na entrada não são suportados.

Versão Golfed

f=function(a,b){s=substr;l=list(E='^',M='*',D='/',A='+',S='-');q="<&|~?";for(i in 1:5){x=s(q,i,i);y=l[[s(a,i,i)]];assign(x,.Primitive(y));b=gsub(y,x,b,,,T)};eval(parse(text=b))}

Ungolfed e comentou:

f = function(a,b) {
  s = substr
  # All arithmetic operators
  l = list(E = '^', M = '*', D = '/', A = '+', S = '-')
  # Some non-arithmetic R operators in descending precedence
  q = "<&|~?"
  for (i in 1:5) {
    # The substituted symbol
    x = s(q, i, i)
    # The original operator which has to be substituted
    y = l[[s(a, i, i)]]
    # Substitute the operator for the R interpreter
    assign(x, .Primitive(y))
    # Substitute the operator in the input string
    b = gsub(y, x, b, , , T)
  }
  # Parse and evaluate
  eval(parse(text = b))
}

Exemplos:

> f("EMDAS", "3+6*2/4-1")
[1] 5
> f("DAMES", "3+6*2/4-1")
[1] 3.5
> f("SADME", "3+6*2/4-1")
[1] 6
> f("MEADS", "3+5^4/2-3*2")
[1] 308
> f("AMEDS", "4*3-sin(0.5^2)*3+1")
[1] 11.01038
> f("DAMES", "4-5-6")
[1] -7