Considere um vetor unidimensional e com valor real x que representa observações de algum processo medido em intervalos igualmente espaçados ao longo do tempo. Chamamos x de uma série temporal .

Vamos n denotar o comprimento de X e X denotam a média aritmética dos x . A função de autocovariância de amostra é definida como

para todos - n < h < n . Isso mede a dependência linear entre dois pontos da mesma série observada em momentos diferentes.

A função de autocorrelação de amostra , ou ACF, é definida como

Isso mede a previsibilidade linear da série x no tempo t , que denotamos x _t , usando apenas o valor x _{t + h} .

Observe que essas estimativas amostrais não correspondem aos cálculos ingênuos com base nas propriedades teóricas. Ou seja, a função de autocorrelação da amostra não é igual ao coeficiente de correlação de Pearson de x com o intervalo h- passo de x .

Tarefa

Dada uma matriz x e um número inteiro não negativo h , imprima ou retorne as primeiras autocorrelações h +1 de atraso de x , começando com o lag 0. As autocorrelações de atraso são aquelas que correspondem a entradas negativas nas fórmulas acima.

Você pode assumir que 0 < h < n , onde n é o comprimento de x , e que 2 < n <256.

A saída deve estar correta dentro de 1E-4. Não há restrições quanto ao uso de funções internas ou ao tempo de execução.

Exemplos

h, x -> output
--------------
5, [2.4, 2.4, 2.4, 2.2, 2.1, 1.5, 2.3, 2.3, 2.5, 2] -> [1.00000000,  0.07659298, -0.06007802, -0.51144343, -0.02912874, -0.10468140]
1, [2134, 1863, 1877, 1877, 1492, 1249] -> [1.0000000, 0.3343041]
2, [13067.3, 13130.5, 13198.4] -> [1.0000000000, -0.0002854906, -0.4997145094]

Gelatina, 26 25 24 23 20 bytes

×L_SµḊ;0µƓС׹S€µF÷Ḣ

Experimente online!

Como funciona

×L_SµḊ;0µƓС׹S€µF÷Ḣ  Main link. Input: x (list) STDIN: h (integer)

×L                    Multiply all items in x by the length of x.
  _S                  Subtract the sum of x from all products.
                      Let's call the result X.
    µ                 Begin a new monadic chain. Argument: t (list)
     Ḋ                Remove the first element of t.
      ;0              Append a 0 to the result.
        µ             Push the previous chain and begin a new one.
                      Argument: X
         Ɠ            Read h from STDIN.
          С          Repeat the Ḋ;0 chain h times, collecting the h+1 intermediate
                      results in a list A.
            ×¹        Multiply the vectors in A by X.
              S€      Compute the sum of each vectorized product.
                µ     Begin a new, monadic chain. Argument: S (sums)
                 F    Flatten S. This does nothing except creating a deep copy.
                   Ḣ  Pop the first element of S.
                  ÷   Divide all elements of the copy by the first element.

R, 3 31 25 bytes

# changes the builtin to only return the acf
body(acf)=body(acf)[1:18]

Uso (retorna uma matriz com as autocorrelações)

(acf(c(2.4, 2.4, 2.4, 2.2, 2.1, 1.5, 2.3, 2.3, 2.5, 2),5))
# , , 1
#
#             [,1]
# [1,]  1.00000000
# [2,]  0.07659298
# [3,] -0.06007802
# [4,] -0.51144343
# [5,] -0.02912874
# [6,] -0.10468140

Fundo:

A solução de 31 bytes com base no original acfincorporado

function(n,h)c(acf(n,h,,F)$acf)

Observe que a opção de 3 bytes acfé o original que será plotado (e impresso em 3 dígitos), retornando a correlação automática necessária como um elemento em uma lista.

uso

 acf(c(2.4, 2.4, 2.4, 2.2, 2.1, 1.5, 2.3, 2.3, 2.5, 2),5)

resultado:

#    Autocorrelations of series ‘c(2.4, 2.4, 2.4, 2.2, 2.1, 1.5, 2.3, 2.3, 2.5, 2)’, by lag
#
#     0      1      2      3      4      5 
# 1.000  0.077 -0.060 -0.511 -0.029 -0.105 

Se quisermos que as correlações sejam exibidas com mais de três casas decimais, 28 bytes o farão (ou 31, se quisermos suprimir o gráfico)

# will still plot (28 bytes)
function(n,h)c(acf(n,h)$acf)
# won't plot (31 bytes)
function(n,h)c(acf(n,h,,F)$acf)

Python 3, 147 130 126 120 bytes

def p(h,x):x=[t-sum(x)/len(x)for t in x];return[sum(s*t for s,t in zip(x[n:],x))/sum(b*b for b in x)for n in range(h+1)]

Esta solução provavelmente vai ser jogada ainda mais, é apenas um começo.

Você pode chamá-lo com:

p(5,[2.4, 2.4, 2.4, 2.2, 2.1, 1.5, 2.3, 2.3, 2.5, 2])

MATL , 20 bytes

tYm-tPX+tX>/GnqiQ:+)

EDIT (20 de maio de 2016): a partir da versão 18.0.0 do idioma, use em Y+vez de X+. O link inclui essa alteração.

Experimente online!

A correlação está intimamente relacionada à convolução. Normalizamos subtraindo a média e, em seguida, envolvemos, normalizamos novamente dividindo pelo valor máximo e, em seguida, selecionamos os atrasos desejados.

tYm-       % implicit input. Duplicate and subtract mean
tPX+       % duplicate, flip, convolve
tX>/       % duplicate, divide by maximum value
Gnq        % length of array, n. Subtract 1
iQ:        % input number h. Generate vector [1,2,...,h+1]
+          % add to obtain vector [n,n+1,...,n+h]
)          % use that vector as an index. Implicitly display

Mathematica, 27 bytes

Agradecemos a LegionMammal978 por economizar 1 byte.

Poderíamos vencer o Jelly se os nomes das funções não fossem tão longos.

#2~CorrelationFunction~{#}&

Caso de teste

%[5,{2.4,2.4,2.4,2.2,2.1,1.5,2.3,2.3,2.5,2}]
(* {1.,0.076593,-0.060078,-0.511443,-0.0291287,-0.104681} *)

Oitava, 47 37 bytes

@(h,x)xcov(x,'coeff')(numel(x)+(0:h))