Dados 5 pontos distintos em um plano bidimensional, determine o tipo de seção cônica formada pelos pontos. A saída deve ser um dos circle, hyperbola, ellipse, ou parabola.

Regras

• Os pontos estarão na posição linear geral, significando que não há três pontos colineares e, portanto, a passagem cônica através deles será única.
• As coordenadas dos 5 pontos serão números decimais entre -10 e 10, inclusive.
• A precisão dos valores decimais / flutuantes deve ser a precisão do tipo flutuante / decimal nativo do seu idioma. Se o seu idioma / tipo de dados for de precisão arbitrária, você poderá usar 12 dígitos após o ponto decimal como a precisão máxima exigida, arredondando para zero (por exemplo 1.0000000000005 == 1.000000000000).
• A capitalização do produto não importa.
• ellipseNão é permitido emitir quando a seção cônica é realmente um círculo. Todos os círculos são elipses, mas você deve gerar o mais específico.

Em imprecisões e precisão de ponto flutuante:

Estou tentando simplificar o máximo possível, para que problemas com imprecisões de ponto flutuante não atrapalhem. O objetivo é que, se o tipo de dados fosse "valor mágico de precisão infinita" em vez de float / double, tudo funcionaria perfeitamente. Porém, como o "valor mágico de precisão infinita" não existe, você escreve um código que assume que seus valores são de precisão infinita e quaisquer problemas que surjam como resultado de imprecisões de ponto flutuante são recursos, não bugs.

Casos de teste

(0, 0), (1, 5), (2, 3), (4, 8), (9, 2) => hyperbola
(1.2, 5.3), (4.1, 5.6), (9.1, 2.5), (0, 1), (4.2, 0) => ellipse
(5, 0), (4, 3), (3, 4), (0, 5), (0, -5) => circle
(1, 0), (0, 1), (2, 1), (3, 4), (4, 9) => parabola

Matlab, 154 bytes

p=input();c=null([p.^2 prod(p,2) p 1+p(:,1)*0]),s={'circle' 'ellipse' 'parabola' 'hyperbola'};s{3+sign(c(3)^2-4*c(1)*c(2))-~max(abs(c(3)),abs(c(1)-c(2)))}

Economizei alguns bytes graças às sugestões de Suever.

Toma entrada como [x1 y1;x2 y2;x3 y3; etc]. Isso usou uma matriz de Vandermonde e encontra a base de seu espaço nulo, que sempre será um único vetor. Em seguida, calcula o discriminante e o usa para criar um índice entre 1 e 4, que é usado para obter a sequência.

Ungolfed:

p=input();
c=null([p.^2 prod(p')' p ones(length(p),1)]);
s={'circle' 'ellipse' 'parabola' 'hyperbola'};
s{3+sign(c(3)^2-4*c(1)*c(2))-~max(abs(c(3)),abs(c(1)-c(2)))}

A sign(...)parte calcula o discriminante, dando 1 se for positivo (hipérbole), -1 se for negativo (elipse) e 0 se for 0 (parábola). O max(...)subtrai 1 se for um círculo. As matrizes do Matlab são de um índice, portanto, adicione 3 para fornecer os valores 1, 2, 3, 4 e use-o para indexar a matriz de nomes de seções cônicas.

JavaScript (ES6), 316 323 347

p=>[1,2,4].some(x=>(d=D(Q=[[x&1,x&2,x&4,0,0,0],...p.map(([x,y])=>[x*x,x*y,y*y,x,y,1])]))?[a,b,c]=Q.map((v,i)=>D(Q.map((r,j)=>(r=[...r],r[i]=x*!j,r)))/d):0,D=m=>m[1]?m[0].reduce((r,v,i)=>r+(i&1?-v:v)*D(m.slice(1).map(r=>r.filter((a,j)=>j-i))),0):m)&&(d=b*b-4*a*c)?d<0?!b&c==a?'Circle':'Ellipse':'Hyperbola':'Parabola'

Qualquer linguagem mais adequada para lidar com matriz e determinante deve ter uma pontuação melhor (APL, J, CJAM, Jelly)

Referências: Forma geral de uma cônica , Cinco pontos determinam uma cônica , Sistema de equações lineares , Determinante

No plano cartesiano, a equação geral de uma cônica é

A*x*x + B*x*y + C*y*y + D*x + E*y + F = 0 

ter A ou B ou C não igual a 0 (caso contrário, é uma linha reta)

A ... F são seis incógnitas a serem encontradas. Com cinco pares de (x, y), podemos construir um sistema linear com cinco equações e o dimensionamento remove uma dimensão. Ou seja, podemos definir um de A, B ou C como 1 se não for 0 (e sabemos que pelo menos um não é 0).

Eu construo e tento resolver 3 sistemas: primeiro tentando A = 1. Se não for solucionável, então B = 1, então C. (Poderia haver uma maneira melhor, mas esse é o meu melhor na época)

Tendo os valores de A, B, C, podemos classificar a cônica olhando para o discriminante d=B*B-4*A*C

• d == 0 -> parábola
• d> 0 -> hipérbole
• d <0 -> elipse, particularmente (A == C e B == 0) -> círculo

Menos golfe

F=p=>(
  // Recursive function to find determinant of a square matrix
  D=m=>m[1]
    ?m[0].reduce((r,v,i)=>r+(i&1?-v:v)*D(m.slice(1).map(r=>r.filter((a,j)=>j-i))),0)
    :m,
  // Try 3 linear systems, coefficients in Q
  // Five equation made from the paramaters in p
  // And a first equation with coefficient like k,0,0,0,0,0,1 (example for A)  
  [1,2,4].some(
    x => (
      // matrix to calc the determinant, last coefficient is missing at this stage
      Q = [ 
        [x&1, x&2, x&4, 0,0,0] // first one is different
        // all other equations built from the params 
        ,...p.map( ([x,y]) => [x*x, x*y, y*y, x, y, 1] )
      ],
      d = D(Q), // here d is the determinant
      d && ( // if solvable  then d != 0
        // add missing last coefficient to Q
        // must be != 0 for the first row, must be 0 for the other
        Q.map( r=> (r.push(x), x=0) ),
        // solve the system (Cramer's rule), I get all values for A...F but I just care of a,b,c
        [a,b,c] = Q.map((v,i)=>D(Q.map(r=>(r=[...r],r[i]=r.pop(),r))) / d),
        d = b*b - 4*a*c, // now reuse d for discriminant
        d = d<0 ? !b&c==a ? 'Circle' : 'Ellipse' // now reuse d for end result
        : d ? 'Hyperbola' : 'Parabola'
      ) // exit .some if not 0
    ), d // .some exit with true, the result is in d
  )  
)

Teste

F=p=>[1,2,4].some(x=>(d=D(Q=[[x&1,x&2,x&4,0,0,0],...p.map(([x,y])=>[x*x,x*y,y*y,x,y,1])]))?[a,b,c]=Q.map((v,i)=>D(Q.map((r,j)=>(r=[...r],r[i]=x*!j,r)))/d):0,D=m=>m[1]?m[0].reduce((r,v,i)=>r+(i&1?-v:v)*D(m.slice(1).map(r=>r.filter((a,j)=>j-i))),0):m)&&(d=b*b-4*a*c)?d<0?!b&c==a?'Circle':'Ellipse':'Hyperbola':'Parabola'

console.log=(...x)=>O.textContent+=x+'\n'

;[
 [[0, 0], [1, 5], [2, 3], [4, 8], [9, 2]]
,[[1.2, 5.3],[4.1, 5.6], [9.1, 2.5], [0, 1], [4.2, 0]]
,[[5, 0], [4, 3], [3, 4], [0, 5], [0, -5]]
,[[1, 0], [0, 1], [2, 1], [3, 4], [4, 9]]
].forEach(t=>console.log(t.join`|`+' => '+F(t)))

<pre id=O></pre>

Python - 234 bytes

import numpy as n
x=input()
d=[n.linalg.det(n.delete(n.array([[i*i,i*j,j*j,i,j,1]for i,j in x]),k,1))for k in range(6)]
t=d[1]**2-4*d[0]*d[2]
print"hyperbola"if t>0else"parabola"if t==0else"circle"if d[1]==0and d[0]==d[2]else"ellipse"

Eu nunca imprimir circleou parabolaporque te d[1]nunca bateu exatamente 0, mas OP disse que estava bem.

C, 500

Minha resposta JavaScript foi portada para C. Apenas para ver se isso pode ser feito.

Uso: leia 10 valores da entrada padrão

eco 1 0 0 1 2 1 3 4 4 9 | cônico

Resultado:

Parábola

Teste (ideona)

double D(m,k)double*m;{double t=0;for(int s=1,b=1,x=0;x<6;x++,b+=b)k&b||(t+=s*m[x]*(k+b>62?1:D(m+6,k+b)),s=-s);return t;}i,u,h;double m[36],*t=m+6,w[6],s[3],b,d;main(){for(;i++<5;*t++=d*d,*t++=d*b,*t++=b*b,*t++=d,*t++=b,*t++=1)scanf("%lf%lf",&d,&b);for(u=4;u;u/=2)for(m[0]=u&1,m[1]=u&2,m[2]=u&4,d=D(m,0),h=0;d&&h<3;h++){for(i=0;i<6;i++)w[i]=m[i*6+h],m[i*6+h]=i?0:u;s[h]=D(m,0)/d;for(;i--;)m[i*6+h]=w[i];}b=s[1];d=b*b-4*s[0]*s[2];puts(d?d<0?!b&(s[2]==s[0])?"Circle":"Ellipse":"Hyperbola":"Parabola");}

Menos golfe

// Calc determinant of a matrix of side d
// In the golfed code, d is fix to 6
double D(m, d, k)
double*m;
{
    int s = 1, b = 1, x = 0;
    double t = 0;
    for (; x < d; x++, b += b)
        k&b || (
            t += s*m[x] *(k+b+1==1<<d? 1: D(  m + d, d, k + b)), s = -s
        );
    return t;
}

double m[36],d, *t = m + 6, w[6], s[3], a, b, c;
i,u,h;
main()
{
    for (; i++ < 5; )
    {
        scanf("%lf%lf", &a, &b);
        *t++ = a*a, *t++ = a*b, *t++ = b*b, *t++ = a, *t++ = b, *t++ = 1;
    }
    for (u = 4; u; u /= 2)
    {
        m[0] = u & 1, m[1] = u & 2, m[2] = u & 4;
        d = D(m, 6, 0);
        if (d) 
            for (h = 0; h < 3; h++)
            {
                for (i = 0; i < 6; i++)
                    w[i] = m[i * 6 + h],
                    m[i * 6 + h] = i ? 0 : u;
                s[h] = D(m, 6, 0)/d;
                for (; i--; )
                    m[i * 6 + h] = w[i];
            }
    }
    a = s[0], b = s[1], c = s[2];
    d = b*b - 4 * a * c;
    puts(d ? d < 0 ? !b&(c == a) ? "Circle" : "Ellipse" : "Hyperbola" : "Parabola");
}

Sábio, 247 bytes

def f(p):
 for i in[1,2,4]:
  z=[i&1,i&2,i&4,0,0,0]
  M=matrix([z]+[[x*x,x*y,y*y,x,y,1]for x,y in p])
  try:A,B,C=(M\vector(z))[:3]
  except:continue
  d=B*B-4*A*C
  return['parabola','hyperbola','circle','ellipse'][[d==0,d>0,d<0and B==0and A==C,d<0].index(1)]

Experimente online

Esta função tem uma iteráveis de (x,y)pares como entrada, tenta calcular o discriminante de cada um dos sistemas lineares possíveis 3 ( A=1, B=1, e C=1), e emite o tipo de secção cónica com base nos valores da discriminante, A, B, e C.

Provavelmente há mais golfe a ser feito, mas estou enferrujada com Sage e estou com sono agora, então vou trabalhar mais de manhã.