Desafio

Escreva um programa P, sem nenhuma entrada, de modo que a proposição “a execução de P eventualmente termine” seja independente da aritmética do Peano .

Regras formais

(Caso você seja um lógico matemático que considere a descrição acima muito informal.)

Pode-se, em princípio, converter alguma máquina Universal Turing U (por exemplo, sua linguagem de programação favorita) em uma fórmula aritmética Peano HALT sobre a variável p , onde HALT ( p ) codifica a proposição “ U termina no programa ( codificado por Gödel ) p ”. O desafio é encontrar p tal que nem HALT ( p ) nem ¬HALT ( p ) possam ser comprovados na aritmética Peano.

Você pode supor que seu programa seja executado em uma máquina ideal com memória ilimitada e números inteiros / ponteiros grandes o suficiente para acessá-lo.

Exemplo

Para ver que tais programas existem, um exemplo é um programa que procura exaustivamente uma prova aritmética Peano de 0 = 1. A aritmética Peano prova que esse programa interrompe se e somente se a aritmética Peano for inconsistente. Como a aritmética do Peano é consistente, mas não pode provar sua própria consistência , ele não pode decidir se esse programa é interrompido.

No entanto, existem muitas outras proposições independentes da aritmética do Peano nas quais você pode basear seu programa.

Motivação

Esse desafio foi inspirado em um novo artigo de Yedidia e Aaronson (2016) exibindo uma máquina de Turing com 7.918 estados cuja não terminação é independente do ZFC , um sistema muito mais forte que a aritmética do Peano. Você pode estar interessado em sua citação [22]. Para esse desafio, é claro, você pode usar sua linguagem de programação preferida no lugar das máquinas de Turing reais.

Haskell, 838 bytes

"Se você quer algo feito, ..."

import Control.Monad.State
data T=V Int|T:$T|A(T->T)
g=guard
r=runStateT
s!a@(V i)=maybe a id$lookup i s
s!(a:$b)=(s!a):$(s!b)
s@((i,_):_)!A f=A(\a->((i+1,a):s)!f(V$i+1))
c l=do(m,k)<-(`divMod`sum(1<$l)).pred<$>get;g$m>=0;put m;l!!fromEnum k
i&a=V i:$a
i%t=(:$).(i&)<$>t<*>t
x i=c$[4%x i,5%x i,(6&)<$>x i]++map(pure.V)[7..i-1]
y i=c[A<$>z i,1%y i,(2&)<$>y i,3%x i]
z i=(\a e->[(i,e)]!a)<$>y(i+1)
(i?h)p=c[g$any(p#i)h,do q<-y i;i?h$q;i?h$1&q:$p,do f<-z i;a<-x i;g$p#i$f a;c[i?h$A f,do b<-x i;i?h$3&b:$a;i?h$f b],case p of A f->c[(i+1)?h$f$V i,do i?h$f$V 7;(i+1)?(f(V i):h)$f$6&V i];V 1:$q:$r->c[i?(q:h)$r,i?(2&r:h)$V 2:$q];_->mzero]
(V a#i)(V b)=a==b
((a:$b)#i)(c:$d)=(a#i)c&&(b#i)d
(A f#i)(A g)=f(V i)#(i+1)$g$V i
(_#_)_=0<0
main=print$(r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$3&V 7:$(6&V 7))=<<[0..])!!0

Explicação

Este programa procura diretamente uma prova aritmética Peano de 0 = 1. Como o PA é consistente, este programa nunca termina; mas como o PA não pode provar sua própria consistência, o não término deste programa é independente do PA.

T é o tipo de expressões e proposições:

• A Prepresenta a proposição ∀ x [ P ( x )].
• (V 1 :$ P) :$ Qrepresenta a proposição P → Q .
• V 2 :$ Prepresenta a proposição ¬ P .
• (V 3 :$ x) :$ yrepresenta a proposição x = y .
• (V 4 :$ x) :$ yrepresenta o x + y natural .
• (V 5 :$ x) :$ yrepresenta os naturais x ⋅ y .
• V 6 :$ xrepresenta o natural S ( x ) = x + 1.
• V 7 reprime o 0 natural.

Em um ambiente com i variáveis livres, nós codificar expressões, proposições e provas como 2 × 2 matrizes de números inteiros [1, 0; a , b ], como segue:

• M ( i , x [ P ( x )]) = [1, 0; 1, 4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)])
• M ( i , λ x [ F ( x )]) = M ( i + 1, F ( x )) onde M ( j , x ) = [1, 0; 5 + i , 4 + j ] para todos os j > i
• M ( i , P → Q ) = [1, 0; 2, 4] ⋅ M ( i , P ) ⋅ M ( i , Q )
• M ( i , P ) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , P )
• M ( i , x = y ) = [1, 0; 4, 4] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• M ( i , x + y ) = [1, 0; 1, 4 + i ] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• H ( i , x ⋅ y ) = [1, 0; 2, 4 + i ] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• H ( i , S x ) = [1, 0; 3, 4 + i ] ⋅ M ( i , x )
• M ( i , 0) = [1, 0; 4, 4 + i ]
• M ( i , ( Γ , P ) ⊢ P ) = [1, 0; 1, 4]
• H ( i , y ⊢ P ) = [1, 0; 2, 4] ⋅ H ( I , Q ) ⋅ H ( i , y ⊢ Q ) ⋅ H ( i , y ⊢ Q → P )
• H ( i , y ⊢ P ( x )) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)]) ⋅ M ( i , x ) ⋅ [1, 0; 1, 2] ⋅ H ( i , y ⊢ ∀ x P (x))
• H ( i , y ⊢ P ( x )) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)]) ⋅ M ( i , x ) ⋅ [1, 0; 2, 2] ⋅ H ( i , y ) ⋅ H ( i , y ⊢ y = x ) ⋅ H ( i , y ⊢ P ( Y ))
• H ( i , y ⊢ ∀ x , P ( x )) = [1, 0; 8, 8] ⋅ H ( i , λ x [ y ⊢ P ( x )])
• H ( i , y ⊢ ∀ x , P ( x )) = [1, 0; 12, 8] ⋅ H ( i , Γ ⊢ P (0)) ⋅ H ( i , λ x [( Γ , P ( x )) ⊢ P (S ( x ))])
• H ( i , y ⊢ P → Q ) = [1, 0; 8, 8] ⋅ M ( i , ( Γ , P ) ⊢ Q )
• H ( i , y ⊢ P → Q ) = [1, 0; 12, 8] ⋅ M ( i , ( Γ , ¬ Q ) ⊢ P )

Os axiomas restantes são codificados numericamente e incluídos no ambiente inicial Γ :

• M (0, x [ x = x ]) = [1, 0; 497, 400]
• M (0, ∀ x [¬ (S ( x ) = 0)]) = [1, 0; 8269, 8000]
• M (0, ∀ x ∀ y [S ( x ) = S ( y ) → x = y ]) = [1, 0; 56106533, 47775744]
• M (0, x [ x + 0 = x ]) = [1, 0; 12033, 10000]
• M (0, ∀ y [ x + S ( y ) = S ( x + y )]) = [1, 0; 123263749, 107495424]
• M (0, x [ x 0 = 0]) = [1, 0; 10049, 10000]
• M (0, ∀ x ∀ y [ x ⋅ S ( y ) = x ⋅ y + x ]) = [1, 0; 661072709, 644972544]

Uma prova com matriz [1, 0; a , b ] pode ser verificado dado apenas o canto inferior esquerdo a (ou qualquer outro valor congruente a um módulo b ); os outros valores existem para permitir a composição de provas.

Por exemplo, aqui está uma prova de que a adição é comutativa.

• M (0, y ⊢ ∀ x ∀ y [ x + y = y + x]) = [1, 0; 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644, 14010499234317302152403198529613715336094817740448888109376168978138227692104106788277363562889534501599380268163213618740021570705080096139804941973102814335632180523847407060058534443254569282138051511292576687428837652027900127452656255880653718107444964680660904752950049505280000000000000000000000000000000000000000000000000000000]

Você pode verificá-lo com o programa da seguinte maneira:

*Main> let p = A $ \x -> A $ \y -> V 3 :$ (V 4 :$ x :$ y) :$ (V 4 :$ y :$ x)
*Main> let a = 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644
*Main> r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$p)a :: [((),Integer)]
[((),0)]

Se a prova fosse inválida, você obteria a lista vazia.