Dado um número inteiro positivo n e um número a , a n- ésima tetração de a é definida como a ^ ( a ^ ( a ^ (... ^ a ))), onde ^ indica exponenciação (ou potência) e a expressão contém o número a exatamente n vezes.

Em outras palavras, a tetração é exponenciação iterativa associativa à direita. Para n = 4 e a = 1,6, a tetração é 1,6 ^ (1,6 ^ (1,6 ^ 1,6)) ≈ 3,5743.

A função inversa da tetração em relação a n é o superlogaritmo . No exemplo anterior, 4 é o superlogaritmo de 3.5743 com "super-base" 1.6.

O desafio

Dado um número inteiro positivo n , encontre x de modo que n seja o superlogaritmo de si mesmo na super base x . Ou seja, encontre x de modo que x ^ ( x ^ ( x ^ (... ^ x ))) (com x aparecendo n vezes) seja igual a n .

Regras

Programa ou função permitida.

Os formatos de entrada e saída são flexíveis, como de costume.

O algoritmo deve teoricamente funcionar para todos os números inteiros positivos. Na prática, a entrada pode ser limitada a um valor máximo devido a restrições de memória, tempo ou tipo de dados. No entanto, o código deve funcionar para entradas de 100pelo menos menos de um minuto.

O algoritmo deve teoricamente fornecer o resultado com 0.001precisão. Na prática, a precisão da saída pode ser pior devido a erros acumulados em cálculos numéricos. No entanto, a saída deve ser precisa até 0.001os casos de teste indicados.

O menor código vence.

Casos de teste

1    ->  1
3    ->  1.635078
6    ->  1.568644
10   ->  1.508498
25   ->  1.458582
50   ->  1.448504
100  ->  1.445673

Implementação de referência

Aqui está uma implementação de referência no Matlab / Octave (tente em Ideone ).

N = 10; % input
t = .0001:.0001:2; % range of possible values: [.0001 .0002 ... 2]
r = t;
for k = 2:N
    r = t.^r; % repeated exponentiation, element-wise
end
[~, ind] = min(abs(r-N)); % index of entry of r that is closest to N
result = t(ind);
disp(result)

Para N = 10isso dá result = 1.5085.

O código a seguir é uma verificação da precisão da saída, usando aritmética de precisão variável:

N = 10;
x = 1.5085; % result to be tested for that N. Add or subtract 1e-3 to see that
            % the obtained y is farther from N
s = num2str(x); % string representation
se = s;
for n = 2:N;
    se = [s '^(' se ')']; % build string that evaluates to iterated exponentiation
end
y = vpa(se, 1000) % evaluate with variable-precision arithmetic

Isto dá:

• Para x = 1.5085:y = 10.00173...
• Para x = 1.5085 + .001:y = 10.9075
• Pois x = 1.5085 - .001dá y = 9.23248.

assim 1.5085é uma solução válida com .001precisão.

Dyalog APL , 33 25 bytes

Precisa o ⎕IO←0que é padrão em muitos sistemas.

⌈/⎕(⊢×⊣≥(*/⍴)¨)(1+⍳÷⊢)1E4

Teoricamente calcula para todos os números inteiros, mas praticamente limitado a um número muito pequeno.

TryAPL online!

Haskell, 55 54 52 bytes

s n=[x|x<-[2,1.9999..],n>iterate(x**)1!!floor n]!!0

Uso:

> s 100
1.445600000000061

Obrigado a @nimi por 1 byte!
Obrigado a @xnor por 2!

Javascript, ES6: 77 bytes / ES7: 57 53 bytes

ES6

n=>eval("for(x=n,s='x';--x;s=`Math.pow(x,${s})`);for(x=2;eval(s)>n;)x-=.001")

ES7

Usando **como sugerido por DanTheMan:

n=>eval("for(x=2;eval('x**'.repeat(n)+1)>n;)x-=.001")

Exemplo

let f =
n=>eval("for(x=n,s='x';--x;s=`Math.pow(x,${s})`);for(x=2;eval(s)>n;)x-=.001")

console.log(f(25));

Mathematica, 40 33 bytes

Graças a murphy por quase 20% de economia!

1//.x_:>x+.001/;Nest[x^#&,1,#]<#&

Nest[x^#&,1,n]produz a enésima tetração de x. Portanto, Nest[x^#&,1,#]<#testa se a tetração (entrada) de x é menor que (entrada). Simplesmente começamos com x = 1 e adicionamos 0,001 repetidamente até que a tetração seja muito grande e depois produzimos o último valor de x (para garantir que a resposta seja maior que o valor exato, mas dentro de 0,001).

Enquanto estou aprendendo lentamente: //.x_:>y/;zou //.x_/;z:>ysignifica "procure qualquer coisa que corresponda ao modelo x, mas apenas as coisas para as quais o teste z retorna verdadeiro; e depois opere x pela regra y; repetidamente até que nada mude". Aqui o modelo x_é apenas "qualquer número que eu vejo", embora em outros contextos possa ser ainda mais restrito.

Quando a entrada é pelo menos 45, a tetração aumenta tão rapidamente que a última etapa causa um erro de estouro; mas o valor de x ainda é atualizado e gerado corretamente. Diminuir o tamanho da etapa de 0,001 para 0,0001 corrige esse problema para entradas de até 112 e fornece uma resposta mais precisa para a inicialização (e ainda é executada rapidamente, em cerca de um quarto de segundo). Mas esse é um byte extra, então esqueça isso!

Versão original:

x=1;(While[Nest[x^#&,1,#]<#,x+=.001];x)&

J, 39 31 28 bytes

(>./@(]*[>^/@#"0)1+i.%])&1e4

Com base na implementação de referência. É preciso apenas com três casas decimais.

Economizou 8 bytes usando o método da solução de @ Adám .

Uso

Comandos extras usados ​​para formatar várias entradas / saídas.

   f =: (>./@(]*[>^/@#"0)1+i.%])&1e4
   (,.f"0) 1 3 6 10 25 50 100
  1      0
  3  1.635
  6 1.5686
 10 1.5084
 25 1.4585
 50 1.4485
100 1.4456
   f 1000
1.4446

Explicação

(>./@(]*[>^/@#"0)1+i.%])&1e4  Input: n
                         1e4  The constant 10000
(                      )      Operate on n (LHS) and 10000 (RHS)
                   i.           The range [0, 10000)
                      ]         Get (RHS) 10000
                     %          Divide each in the range by 10000
                 1+             Add 1 to each
     (          )               Operate on n (LHS) and the range (RHS)
             #"0                  For each in the range, create a list of n copies
          ^/@                     Reduce each list of copies using exponentation
                                  J parses from right-to-left which makes this
                                  equivalent to the tetration
        [                         Get n
         >                        Test if each value is less than n
      ]                           Get the initial range
       *                          Multiply elementwise
 >./@                           Reduce using max and return

Python, 184 bytes

def s(n):
 def j(b,i):
  if i<0.1**12:
   return b
  m = b+i
  try:
   v = reduce(lambda a,b:b**a,[m]*n)
  except:
   v = n+1
  return j(m,i/2) if v<n else j(b,i/2)
 return j(1.0,0.5)

Saída de teste (pulando as instruções de impressão reais):

   s(1) 1.0
   s(3) 1.63507847464
   s(6) 1.5686440646
  s(10) 1.50849792026
  s(25) 1.45858186605
  s(50) 1.44850389566
 s(100) 1.44567285047

Raquete 187 bytes

(define(f x n)(define o 1)(for((i n))(set! o(expt x o)))o)
(define(ur y(l 0.1)(u 10))(define t(/(+ l u)2))(define o(f t y))
(cond[(<(abs(- o y)) 0.1)t][(> o y)(ur y l t)][else(ur y t u)]))

Teste:

(ur 1)
(ur 3)
(ur 6)
(ur 10)
(ur 25)
(ur 50)
(ur 100)

Resultado:

1.028125
1.6275390625
1.5695312499999998
1.5085021972656247
1.4585809230804445
1.4485038772225378
1.4456728475168346

Versão detalhada:

(define (f x n)
  (define out 1)
  (for((i n))
    (set! out(expt x out)))
  out)

(define (uniroot y (lower 0.1) (upper 10))
  (define trying (/ (+ lower upper) 2))
  (define out (f trying y))
  (cond
    [(<(abs(- out y)) 0.1)
     trying]
    [(> out y)
     (uniroot y lower trying)]
    [else
      (uniroot y trying upper)]))

Perl 6 , 42 bytes

{(0,.0001…2).min:{abs $_-[**] $^r xx$_}}

(Tradução do exemplo do código Matlab)

Teste:

#! /usr/bin/env perl6
use v6.c;
use Test;

my &code = {(0,.0001…2).min:{abs $_-[**] $^r xx$_}}

my @tests = (
  1   => 1,
  3   => 1.635078,
  6   => 1.568644,
  10  => 1.508498,
  25  => 1.458582,
  50  => 1.448504,
  100 => 1.445673,
);

plan +@tests + 1;

my $start-time = now;

for @tests -> $_ ( :key($input), :value($expected) ) {
  my $result = code $input;
  is-approx $result, $expected, "$result ≅ $expected", :abs-tol(0.001)
}

my $finish-time = now;
my $total-time = $finish-time - $start-time;
cmp-ok $total-time, &[<], 60, "$total-time.fmt('%.3f') is less than a minute";

1..8
ok 1 - 1 ≅ 1
ok 2 - 1.6351 ≅ 1.635078
ok 3 - 1.5686 ≅ 1.568644
ok 4 - 1.5085 ≅ 1.508498
ok 5 - 1.4586 ≅ 1.458582
ok 6 - 1.4485 ≅ 1.448504
ok 7 - 1.4456 ≅ 1.445673
ok 8 - 53.302 seconds is less than a minute

PHP, 103 bytes

$z=2;while($z-$a>9**-9){for($r=$s=($a+$z)/2,$i=0;++$i<$n=$argv[1];)$r=$s**$r;$r<$n?$a=$s:$z=$s;}echo$s;

Axiom 587 bytes

l(a,b)==(local i;i:=1;r:=a;repeat(if i>=b then break;r:=a^r;i:=i+1);r);g(q,n)==(local r,y,y1,y2,t,v,e,d,i;n<=0 or n>1000 or q>1000 or q<0 => 0;e:=1/(10**(digits()-3));v:=0.01; d:=0.01;repeat(if l(v,n)>=q then break;v:=v+d;if v>=1 and n>25 then d:=0.001;if v>=1.4 and n>40 then d:=0.0001;if v>=1.44 and n>80 then d:=0.00001;if v>=1.445 and n>85 then d:=0.000001);if l(v-d,n)>q then y1:=0.0 else y1:=v-d;y2:=v;y:=l(v,n);i:=1;if abs(y-q)>e then repeat(t:=(y2-y1)/2.0;v:=y1+t;y:=l(v,n);i:=i+1;if i>100 then break;if t<=e then break;if y<q then y1:=v else y2:=v);if i>100 then output "#i#";v)

menos golfe + números

l(a,b)==
  local i
  i:=1;r:=a;repeat(if i>=b then break;r:=a^r;i:=i+1)
  r
g(q,n)==
 local r, y, y1,y2,t,v,e,d, i
 n<=0 or n>1000 or q>1000 or q<0 => 0  
 e:=1/(10**(digits()-3))
 v:=0.01; d:=0.01  
 repeat  --cerco dove vi e' il punto di cambiamento di segno di l(v,n)-q
    if l(v,n)>=q then break
    v:=v+d 
    if v>=1     and n>25 then d:=0.001
    if v>=1.4   and n>40 then d:=0.0001
    if v>=1.44  and n>80 then d:=0.00001
    if v>=1.445 and n>85 then d:=0.000001
 if l(v-d,n)>q then y1:=0.0
 else               y1:=v-d 
 y2:=v; y:=l(v,n); i:=1  -- applico il metodo della ricerca binaria
 if abs(y-q)>e then      -- con la variabile i di sicurezza
    repeat 
       t:=(y2-y1)/2.0; v:=y1+t; y:=l(v,n)
       i:=i+1
       if i>100 then break
       if t<=e  then break 
       if  y<q  then y1:=v
       else          y2:=v
 if i>100 then output "#i#"
 v

(3) -> [g(1,1), g(3,3), g(6,6), g(10,10), g(25,25), g(50,50), g(100,100)]
   Compiling function l with type (Float,PositiveInteger) -> Float
   Compiling function g with type (PositiveInteger,PositiveInteger) ->
      Float

   (3)
   [1.0000000000 000000001, 1.6350784746 363752387, 1.5686440646 047324687,
    1.5084979202 595960768, 1.4585818660 492876919, 1.4485038956 661040907,
    1.4456728504 738144738]
                                                             Type: List Float

Lisp comum, 207 bytes

(defun superlog(n)(let((a 1d0)(i 0.5))(loop until(< i 1d-12)do(let((v(or(ignore-errors(reduce #'expt(loop for q below n collect(+ a i)):from-end t))(1+ n))))(when(< v n)(setq a (+ a i)))(setq i(/ i 2)))) a))

O uso reducecom :from-end tevita a necessidade de executar um lambda intermediário de "exponenciação reversa" (basicamente (lambda (x y) (expt y x)), economizando 14 bytes (12, se você remover espaços removíveis).

Ainda precisamos lidar com o estouro de flutuação, mas um ignore-errorsformulário retornará nilse ocorrer um erro, para que possamos usar orpara fornecer um valor padrão.