A conjectura de Goldbach afirma que todo número par maior que dois pode ser expresso como a soma de dois números primos. Por exemplo,

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 5 + 3

No entanto, quando chegamos a 10, algo interessante acontece. Não apenas 10 podem ser escritos como

5 + 5

mas também pode ser escrito como

7 + 3

Como 10 pode ser expresso como a soma de dois números primos de duas maneiras , dizemos que a "partição Goldbach" de 10 é 2. Ou de maneira mais geral,

A partição Goldbach de um número é o número total de maneiras distintas de escrever n = p + qonde pe qsão primos ep >= q

Seu desafio é escrever um programa ou função que encontre a partição Goldbach de um número. Agora, tecnicamente, o termo "partição Goldbach" é usado apenas para se referir a números pares. No entanto, como o número inteiro ímpar p + 2 também pode ser expresso como a soma de dois números primos se p> 2 for primo, estenderemos isso a todos os números inteiros positivos ( A061358 ).

Você pode assumir com segurança que sua entrada sempre será um número inteiro positivo e poderá receber entrada e saída em qualquer um dos nossos métodos padrão permitidos , por exemplo, argumentos de função e valor de retorno, STDIN e STDOUT, leitura e gravação em um arquivo etc.

As partições Goldbach dos números inteiros positivos até 100 são:

0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 1, 3, 0, 3, 1,
3, 0, 2, 0, 3, 1, 2, 1, 4, 0, 4, 0, 2, 1, 3, 0, 4, 1, 3, 1, 4, 0, 5, 1, 4,
0, 3, 0, 5, 1, 3, 0, 4, 0, 6, 1, 3, 1, 5, 0, 6, 0, 2, 1, 5, 0, 6, 1, 5, 1,
5, 0, 7, 0, 4, 1, 5, 0, 8, 1, 5, 0, 4, 0, 9, 1, 4, 0, 5, 0, 7, 0, 3, 1, 6

Como sempre, as brechas padrão se aplicam e a resposta mais curta em bytes vence!

Gelatina , 8 bytes

_ÆRÆPSHĊ

Experimente online! ou verifique todos os casos de teste .

Como funciona

_ÆRÆPSHĊ  Main link. Argument: n (positive integer)

 ÆR       Prime range; yield [2, 3, 5, ..., n].
_         Subtract all primes in this range from n.
   ÆP     Compute the primality of the resulting differences.
          This returns 1 for each prime p such that n - p is also prime.
     S    Compute the sum of the resulting Booleans.
      H   Divide it by 2, since [p, n - p] and [n - p, p] have both been counted.
       Ċ  Ceil; round the resulting quotient up (needed if n = 2p).

Python 2, 76 bytes

g=lambda n,k=2:n/k/2and all(x%i for x in[k,n-k]for i in range(2,x))+g(n,k+1)

Recursivamente rastreia de k=2até n/2, adicionando valores onde ambos ke n-ksão primos. Seria bom fazer uma contagem nregressiva ao mesmo tempo, mas isso tem um problema que k=0ek=1 são falsamente chamado nobre:

g=lambda n,k=0:n/k and all(x%i for x in[k,n]for i in range(2,x))+g(n-1,k+1)

A verificação de primalidade é a divisão de teste, abreviada pela verificação de ambos ke n-kjuntos. Eu achei que isso era mais curto do que usar um gerador de teorema de Wilson (79 bytes):

f=lambda n,k=1,P=1,l=[]:n/k and P%k*(n-k in l+P%k*[k])+f(n,k+1,P*k*k,l+P%k*[k])

A idéia para este é manter uma lista de todos os números primos na metade inferior a ser verificada quando chegarmos à metade superior, mas, para o ponto médio k=n/2, não tivemos tempo de adicionar n-kuma lista quando chegarmos à k. Uma versão iterativa contorna isso, mas tem 82 bytes:

n=input()
s=P=k=1;l=[]
while k<n:l+=P%k*[k];s+=P%k*(n-k in l);P*=k*k;k+=1
print~-s

MATL , 8 bytes

tZq&+=Rz

Experimente online!

Explicação

Considere a entrada 8como um exemplo

      % Take input implicitly
t     % Duplicate
      % STACK: 8, 8
Zq    % All primes up to that number
      % STACK: 8, [2 3 5 7]
&+    % Matrix with all pairwise additions
      % STACK: 8, [4  5  7  9
                   5  6  8 10
                   7  8 10 12
                   9 10 12 14]
=     % True for entries that equal the input
      % STACK: [0 0 0 0
                0 0 1 0
                0 1 0 0
                0 0 0 0]
R     % Extract upper triangular part (including diagonal). 
      % This removes pairs that are equal up to order
      % STACK: [0 0 0 0
                0 0 1 0
                0 0 0 0
                0 0 0 0]
z     % Number of nonzero entries
      % STACK: 1
      % Display implicitly

É interessante observar o gráfico da sequência , usando uma versão ligeiramente modificada do código:

:"@       % Input n implicitly. For each k from 1 to n, push k
tZq&+=Rz  % Same code as above. Pushes the result for each k
]v'.'&XG  % End. Concatenate all results into a vector. Plot as dots

Para entrada, 10000o resultado é

Você pode experimentá-lo no MATL Online ( atualize a página se o botão "Executar" não mudar para "Matar" quando pressionado). Demora vários 25 segundos para produzir o gráfico para entrada 3000; entradas acima de alguns milhares expirarão.

JavaScript (ES6), 77 73 70 bytes

Guardado 3 bytes graças a @Arnauld

f=(n,x=n)=>--x<2||n%x&&f(n,x)
g=(a,b=a>>1)=>b>1?f(b)*f(a-b)+g(a,b-1):0

fé uma função de teste de primalidade; a função relevante é g.

ffunciona contando recursivamente a partir de n-1 ; o fluxo de controle em cada estágio é assim:

• x<2||Se x <2 , o número é primo; retorno 1 .
• n%x&&Caso contrário, se n mod x = 0 , o número não é primo; retorno n%x.
• f(n,x-1)Caso contrário, o número pode ou não ser primo; diminua xe tente novamente.

gfunciona de maneira semelhante, embora com pouco controle de fluxo. Ele funciona multiplicando f (b) por f (ab) para cada número inteiro b no intervalo [2, piso (a / 2)] e , em seguida, somando os resultados. Isso nos dá o número de pares que somam uma em que ambos os números do par são primos, que é exatamente o que queremos.

05AB1E , 10 8 bytes

Extremamente ineficiente.

D!f-pO;î

Experimente online! ou Tente uma maneira menos eficiente de gerar números primos

Explicação

n = 10 usado como exemplo.

D          # duplicate
           # STACK: 10, 10 
 !         # factorial
           # STACK: 10, 3628800
  f        # unique prime factors
           # STACK: 10, [2,3,5,7]
   -       # subtract
           # STACK: [8,7,5,3]
    p      # is prime
           # STACK: [0,1,1,1]
     O     # sum
           # STACK: 3
      ;    # divide by 2
           # STACK: 1.5
       î   # round up
           # STACK: 2
           # implicit output

GAP , 57 bytes

n->Number([2..QuoInt(n,2)],k->IsPrime(k)and IsPrime(n-k))

Não acho que o GAP tenha um caminho mais curto que esse óbvio. Numberconta quantos elementos de uma lista atendem a um predicado.

Utilizando-o para calcular os 100 primeiros valores:

gap> List([1..100],n->Number([2..QuoInt(n,2)],k->IsPrime(k)and IsPrime(n-k)));
[ 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 1, 3, 0, 3, 1, 
  3, 0, 2, 0, 3, 1, 2, 1, 4, 0, 4, 0, 2, 1, 3, 0, 4, 1, 3, 1, 4, 0, 5, 1, 4, 
  0, 3, 0, 5, 1, 3, 0, 4, 0, 6, 1, 3, 1, 5, 0, 6, 0, 2, 1, 5, 0, 6, 1, 5, 1, 
  5, 0, 7, 0, 4, 1, 5, 0, 8, 1, 5, 0, 4, 0, 9, 1, 4, 0, 5, 0, 7, 0, 3, 1, 6 ]

Braquilog , 22 bytes

:{,A:B>=.:#pa+?,.=}fl

Experimente online!

Explicação

Uma transcrição direta do problema.

:{                }f       Find all valid outputs of the predicate in brackets for the Input
                    l      Output is the number of valid outputs found

  ,A:B>=.                  Output = [A, B] with A >= B
         :#pa              Both A and B must be prime numbers
             +?,           The sum of A and B is the Input
                .=         Label A and B as integers that verify those constraints

Mathematica, 52 bytes

Count[IntegerPartitions[#,{2}]//PrimeQ,{True,True}]&

O resultado é fornecido como uma função anônima. Tente plotar um gráfico sobre ele:

DiscretePlot[
 Count[IntegerPartitions[#, {2}] // PrimeQ, {True, True}] &[i], {i, 1,
   1000}]

A propósito, o código tem o mesmo comprimento da versão funcional do código de demonstração no OEIS.

Gelatina , 12 bytes

HRð,_@ÆPð×/S

TryItOnline
1-100

Quão?

HRð,_@ÆPð×/S - Main link: n    e.g. 22
H            - halve
 R           - range          [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11] (note this will be 1 to n//2)
  ð          - dyadic chain separation
   ,         - pair with
    _@       - n -           [[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[21,20,19,18,17,16,15,14,13,12,11]]
      ÆP     - is prime? (1 if prime 0 if not)
                            [[0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,1],[0,0,1,0,1,0,0,0,1,0,1]]
        ð    - dyadic chain separation
         ×/  - reduce with multiplication
                             [0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,1]
           S - sum           3

Raquete 219 bytes

(let*((pl(for/list((i n) #:when(prime? i))i))(ll(combinations(append pl pl)2))(ol'()))(for/list((i ll))(define tl(sort i >))
(when(and(= n(apply + i))(not(ormap(λ(x)(equal? x tl))ol)))(set! ol(cons tl ol))))(length ol))

Ungolfed:

(define(f n)
 (let* ((pl                                   ; create a list of primes till n
          (for/list ((i n) #:when (prime? i))
            i))
         (ll (combinations (append pl pl) 2)) ; get a list of combinations of 2 primes
         (ol '()))                            ; initialize output list
    (for/list ((i ll))                        ; test each combination
      (define tl (sort i >))
      (when (and (= n (apply + i))            ; sum is n
                 (not(ormap (lambda(x)(equal? x tl)) ol))) ; not already in list
        (set! ol (cons tl ol))))              ; if ok, add to list
    (println ol)                              ; print list
    (length ol)))                             ; print length of list

Teste:

(f 10)
(f 100)

Resultado:

'((5 5) (7 3))
2
'((97 3) (89 11) (83 17) (71 29) (59 41) (53 47))
6

Na verdade , 11 bytes

;R`p`░@-♂bΣ

Experimente online!

Explicação:

;R`p`░@-♂bΣ
 R`p`░       prime values in [1, n]
;     @-     subtract each value from n
        ♂b   convert each value to boolean
          Σ  sum

05AB1E , 6 bytes

;ÅP-pO

Experimente online!

Explicação:

                  # implicit input (example: 10)
;                 # divide input by 2 (5)
 ÅP               # primes up to that ([2, 3, 5])
   -              # subtract from the implict input ([8, 7, 5])
    p             # isPrime? ([0, 1, 1])
     O            # sum (2), implicit output

Haskell, 73 bytes

f n|r<-[a|a<-[2..n],all((<2).gcd a)[2..a-1]]=sum[1|p<-r,q<-r,q<=p,p+q==n]

Exemplo de uso: map f [1..25]->[0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,0,1,1,2,1,2,0,2,1,2,1,3,0,3,1] .

Implementação direta da definição: primeiro vincule ra todos os números primos até o número de entrada n, depois pegue um 1para todos pe qde ronde q<=pe p+q==ne os some.