Você pode criar uma lista de todos os racionais 0 <r ≤ 1 listando-os ordenados primeiro pelo denominador e depois pelo numerador:

1  1  1  2  1  3  1  2  3  4  1  5  1  2  3  4  5
-  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -
1  2  3  3  4  4  5  5  5  5  6  6  7  7  7  7  7

Observe que pulamos qualquer número racional que já ocorreu antes. Por exemplo, 2/4 é ignorado porque já listamos 1/2.

Neste desafio, estamos interessados ​​apenas nos numeradores. Observando a lista acima, escreva uma função ou programa usando um número inteiro positivo n que retorne o enésimo numerador da lista.

Casos de teste:

1 -> 1
2 -> 1
3 -> 1
4 -> 2
5 -> 1
6 -> 3
7 -> 1
8 -> 2
9 -> 3
50 -> 4
80 -> 15

MATL , 17 13 bytes

:tt!/XR6#uG))

Experimente online! Ou verifique todos os casos de teste .

O tamanho da entrada pode ser limitado pela precisão do ponto flutuante. Todos os casos de teste fornecem o resultado correto.

Explicação

Isso gera todas as frações k/mcom k, mem [1 2 ...n], como uma matriz n× n. A linha indica o numerador e a coluna indica o denominador. Na verdade, a entrada da matriz contém a fração inversa m/k, em vez de k/m, mas isso é irrelevante e pode ser ignorada no restante da explicação.

As entradas da matriz são consideradas implicitamente classificadas na ordem principal da coluna. Nesse caso, isso corresponde à ordem necessária: denominador e numerador.

Três tipos de entradas precisam ser desconsiderados nessa matriz:

1. As entradas k/m, k>mque têm o mesmo valor como uma entrada anterior (por exemplo, 2/4não é considerado porque é a mesma que 1/2)
2. Entradas k/k, k>1. Entradas que possuem um numerador que excede o denominador
3. Entradas k/m, k<m(estes não são parte do problema).

A desconsideração de entradas é feita com uma uniquefunção, que remove de forma estável os valores duplicados e gera os índices das entradas sobreviventes. Com isso, as entradas do tipo 1 acima são removidas automaticamente. Para lidar com os tipos 2 e 3, as entradas da matriz na diagonal e abaixo são definidas como 0. Dessa forma, todas as zero entradas serão removidas, exceto a primeira (correspondente à fração válida 1/1).

Considere a entrada 4como um exemplo.

:     % Input n implicitly. Push range [1 2 ...n]
      % STACK: [1 2 3 4]
t     % Duplicate
      % STACK: [1 2 3 4], [1 2 3 4]
t!    % Duplicate and transpose
      % STACK: [1 2 3 4], [1 2 3 4], [1; 2; 3; 4]
/     % Divide element-wise with broadcast: gives matrix with all pairs
      % STACK: [1 2 3 4], [1       2       3       4;
                           0.5000  1       1.5000  2;
                           0.3333  0.6667  1       1.3333;
                           0.2500  0.5000  0.7500  1     ]
XR    % Upper triangular part above the diagonal. This sets to 0 all entries
      % corresponding to fractions that equal or exceed 1. (Since the matrix
      % actually contains the inverse fractions, nonzero entries will contain
      % values greater than 1)
      % STACK: [1 2 3 4], [0       2       3       4;
                           0       0       1.5000  2;
                           0       0       0       1.3333;
                           0       0       0       0     ]
6#u   % Indices of first appearance of unique elements
      % STACK: [1 2 3 4], [1; 5; 9; 10; 13; 15]
G     % Push input n again
      % STACK: [1 2 3 4], [1; 5; 9; 10; 13; 15], 4
)     % Index: get the n-th entry from the array of indices of unique elements
      % STACK: [1 2 3 4], 10
)     % Index (modular): get the corresponding real part. Display implicitly
      % STACK: 2

Geléia , 11 9 bytes

gRỊTµ€Fị@

Experimente online! ou verifique todos os casos de teste .

Como funciona

gRỊTµ€Fị@  Main link. Argument: n

    µ€     Map the monadic chain to the left over [1, ..., n]; for each k:
 R           Range; yield [1, ..., k].
g            Compute the GCD of k and each j in [1, ..., k].
  Ị          Insignificant; yield 1 for 1; 0 for 2, ..., k.
   T         Truth; yield all indices of 1's, i.e., all coprimes with k.
      F      Flatten the resulting 2D array.
       ị@    At-index swapped; return the n-th element.

Mathematica, 53 bytes

(Join@@Select[Range@a,a~GCD~#==1&]~Table~{a,#})[[#]]&

Haskell, 40 bytes

((0:[n|d<-[1..],n<-[1..d],gcd n d<2])!!)

Uma função anônima. Bem simples: usa uma compreensão de lista para gerar uma lista infinita, fazendo um loop sobre todos os numeradores ne denominadores relativamente primos d. Para converter o índice zero em um indexado, adicionamos um a 0, que recebe 4bytes.

Pitão, 13 bytes

@smfq1idTUhdh

Experimente online. Suíte de teste.

Pitão, 11 bytes

@sm.mibdhdS

Experimente online: Demonstração

Explicação:

@sm.mibdhdSQQ   implicit Qs at the end (Q = input number)
  m       SQ    map each denominator d from [1, 2, ..., Q] to:
   .m   hd        select the numerators b from [0, 1, ..., d]
     ibd             for which gcd(b, d) == 1 (which is the smallest possible gcd)
                  this gives [0, 1] for d=1, [1] for d=2, [1,2] for d=3, ...
 s              combine all lists to a big one
@           Q   print the Qth element

Na verdade , 15 bytes

Esta resposta é baseada na resposta de Dennis 'Jelly . Uso HNno final para evitar problemas com a indexação 0 e a necessidade de diminuir e trocar no início ou no final. Hobtém os primeiros nmembros da lista de numeradores que resultam e Nobtém o último membro dessa seleção, ou seja, o nnumerador, tudo sem mexer nas operações de pilha. Sugestões de golfe são bem-vindas. Experimente online!

;R`;r;)♀┤░`MΣHN

Ungolfing

          Implicit input n.
;         Duplicate n. Leave one n on the stack for getting the nth numerator at the end.
R`...`M   Map the following function over the range [1..n]. Variable m.
  ;         Duplicate m. Leave one m on the stack for checking coprimality later.
  r         Push the range [0...m].
  ;)        Move a duplicate of range [0...m] to BOS.
  ♀┤        Push a list of 0's and 1's where a 1 denotes a number coprime to m (a numerator),
             and 0 denotes a fraction we have counted before.
  ░         Filter the second list (range [0...m]) 
             by the truthy values in the first list (our coprime check).
Σ         Sum all of the lists in the result into one list.
H         Push result[:n] using the duplicate of n from the beginning of the program.
N         Push result[:n][:-1], which is the same as result[n-1], our nth numerator.
          Implicit return.

Python, 111 110 bytes

from fractions import*
def g(n):
 x,y=1,1
 while n>1:
  x+=1
  if x>y:x,y=1,y+1
  if gcd(x,y)<2:n-=1
 return x

A fração é representada por x/y. O argumento né decrementado quando uma nova fração de ajuste é encontrada (as verificações gcdfrom fractionspodem ser reduzidas). Em cada iteração do loop, xé incrementado; em seguida, se x>=yuma nova série de frações y+1for iniciada, >por causa do "caso especial" (x,y)=(2,1), será direcionado para x>y.

Estou certo de que isso pode ser mais praticado, mas estou perdendo onde eu poderia melhorá-lo. Encontrei.

Link para código e casos de teste

JavaScript (ES6), 95 bytes

n=>[...Array(n*n).keys()].filter(i=>i%n<=i/n&g(i%n+1,i/n+1|0)<2,g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a)[n-1]%n+1

Funciona através da geração de todas as n²fracções com numerador e denominador de 1a ne filtrando aqueles maior do que 1ou previamente visto, em seguida, tendo o nth.

Perl, 82 + 2 ( -plsinalizador) = 84 bytes

perl -ple '{{$d>$n?($n++,(grep!($n%$_||$d%$_),2..$d)&&redo):($n=1,$d++)}++$i!=$_&&redo;$_=$n}'

Ungolfed:

while (<>) {  # -p flag
    chomp();  # -l flag

    my $i = 0;
    my $n = 0;
    my $d = 0;

    for (;;) {
        for (;;) {
            if ($d <= $n) {
                $n = 1;
                $d++;
                last;
            }
            else {
                $n++;
                last unless grep { !($n % $_) && !($d % $_) } 2 .. $d;
            }
        }
        if (++$i == $_) {
            $_ = $n;
            last;
        }
    }
}
continue {
    print($_, "\n");
}

JavaScript (ES6), 76

x=>eval("for(g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a,d=n=0;x;g(n,d)-1||--x)n=++n>d?(++d,1):n")

Menos golfe

x=>{
  g=(a,b) => b ? g(b,a%b) : a; // gcd
  for (d=n=0; x; )
  {
     ++n;
     if (n > d)
     {
        ++d;
        n=1;
     }
     if (g(n,d) == 1) // if the fraction is irreducible 
        --x;
  }
  return n
}

Teste

f=
x=>eval("for(g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a,d=n=0;x;g(n,d)-1||--x)n=++n>d?(d++,1):n")

;`1 -> 1
2 -> 1
3 -> 1
4 -> 2
5 -> 1
6 -> 3
7 -> 1
8 -> 2
9 -> 3
50 -> 4
80 -> 15`.split`\n`.forEach(
  r=>{
    var [a,k]=r.match(/\d+/g),r=f(a)
    console.log(r==k?'OK':'KO',a,r)
  }
)  

Clojure, 85 bytes

#(if(= 1 %)1(numerator(nth(distinct(for[i(range)j(range 1(inc i))](/ j i)))(dec %))))

Usa a compreensão da lista para gerar uma lista de todos os racionais, depois o filtra para obter apenas os distintos. Pega o nthitem da lista e retorna seu numerador. Também é necessária uma condição separada para o primeiro elemento, porque o Clojure não pode usar o numerador de um número inteiro. (por qualquer motivo, considerando que um número inteiro não seja Rational - https://goo.gl/XETLo2 )

Veja on-line - https://ideone.com/8gNZEB