É possível transformar uma matriz de rotação 3D (4x4) em seus componentes (rotação, escala, etc.)?

Para ser mais concreto, estou trabalhando em um aplicativo iOS e tenho uma CATransform3Destrutura (basicamente uma matriz de transformação 4x4).

É possível deduzir todas as diferentes "operações" que essa matriz implica? Coisas como quanta rotação, escala, etc. isso implica?

Você pode decompor a matriz em transformações básicas: conversão, dimensionamento e rotação. Dada esta matriz:$\mathbf{M} = \mathbf{TRS}$

$$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Você pode decompor a tradução por inspeção usando a última coluna .$\mathbf{t} = (a_{03}, a_{13}, a_{23})$

Para dimensionamento, sabemos que as três primeiras colunas da matriz correspondem às bases (eixos). Podemos obter a escala pelo comprimento / norma desses vetores, ou seja, quanto as bases foram dimensionadas. Portanto, a escala é que:$\mathbf{s} = (s_0, s_1, s_2)$

$$\begin{matrix} s_0 = \left \|(a_{00}, a_{10}, a_{20}) \right \|\\ s_1 = \left \|(a_{01}, a_{11}, a_{21}) \right \|\\ s_2 = \left \|(a_{02}, a_{12}, a_{22}) \right \|\\ \end{matrix}$$

Agora você tem a escala, pode se livrar dela usando a sub-matriz que corresponde a multiplicando a matriz pelo inverso da escala para getR S S - 1$3\times 3$$\mathbf{RS}$$\mathbf{S}^{-1}$$\mathbf{R}$

$$\begin{align} \mathbf{(RS)S}^{-1} &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_0 & 0 & 0\\ 0 & s_1 & 0\\ 0 & 0 & s_2 \end{bmatrix}^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/s_0 & 0 & 0\\ 0 & 1/s_1 & 0\\ 0 & 0 & 1/s_2 \end{bmatrix} \end{align}$$

Assim ( ):$\mathbf{(RS)S}^{-1} = \mathbf{RI} = \mathbf{R}$

$$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} a_{00}/s_0 & a_{01}/s_1 & a_{02}/s_2\\ a_{10}/s_0 & a_{11}/s_1 & a_{12}/s_2\\ a_{20}/s_0 & a_{21}/s_1 & a_{22}/s_2\\ \end{bmatrix}$$

Esta é a matriz de rotação final. Você pode decompor ainda mais usando várias maneiras. É muito demorado, mas você pode procurar decompor uma matriz de rotação .

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Este método fornece apenas valores equivalentes na forma de translação, escala e rotação (a matriz original talvez seja o resultado de outros tipos de transformações). Pode haver problemas com a precisão do ponto flutuante nos ângulos de rotação, se você continuar usando os ângulos decompostos, erros de arredondamento podem se acumular nos cálculos. Você não deve usá-lo, a menos que não tenha construído a matriz.

Se você foi quem construiu a matriz e desejou a decomposição para poder editar e exibir a tradução, a escala e a rotação individualmente e independentemente , provavelmente o mais limpo é por que armazenar os componentes de , e em uma classe de transformação individualmente como vetores (talvez quaternion para a rotação). Somente quando você precisar da matriz de transformação, construa uma matriz partir desses componentes (você pode armazenar em cache a matriz até que algum componente seja alterado).s r T R $\mathbf{t}$$\mathbf{s}$$\mathbf{r}$$\mathbf{TRS}$