Como definir máquinas quânticas de Turing?

Na computação quântica, qual é o modelo equivalente de uma máquina de Turing? Está bem claro para mim como os circuitos quânticos podem ser construídos a partir de portas quânticas, mas como podemos definir uma máquina quântica de Turing (QTM) que pode realmente se beneficiar de efeitos quânticos, a saber, atuar em sistemas de alta dimensão?

^{( nota : a descrição completa é um pouco complexa e possui várias sutilezas que eu preferi ignorar. A seguir, são apenas as idéias de alto nível para o modelo QTM)}

Ao definir uma máquina de Quantum Turing (QTM), gostaria de ter um modelo simples, semelhante ao TM clássico (ou seja, uma máquina de estados finitos mais uma fita infinita), mas permite ao novo modelo a vantagem da mecânica quântica.

Similar ao modelo clássico, o QTM possui:

1. $Q=\{q_0,q_1,..\}$ - um conjunto finito de estados. Seja um estado inicial.$q_0$
2. $\Sigma=\{\sigma_0,\sigma_1,...\}$ , - conjunto de alfabeto de entrada / de trabalho$\Gamma=\{\gamma_0,..\}$
3. uma fita infinita e uma única "cabeça".

Entretanto, ao definir a função de transição, deve-se lembrar que qualquer cálculo quântico deve ser reversível . Lembre-se de que uma configuração de TM é a tupla indicando que a TM está no estado , a fita contém e o cabeçalho aponta para a célula de a fita.$C=(q,T,i)$$q\in Q$$T\in \Gamma^*$$i$

Como, a qualquer momento, a fita consiste apenas em uma quantidade finita de células não vazias, definimos o estado (quântico) do QTM como um vetor unitário no espaço Hilbert gerado pelo espaço de configuração . A configuração específica é representada como o estado_{(observação: portanto, cada célula da fita é um espaço Hilbert dimensional .)}$\mathcal{H}$$Q\times\Sigma^*\times \mathrm{Z}$$C=(q,T,i)$

O QTM é inicializado no estado , em que é concatenação da entrada com muitos "espaços em branco", conforme necessário (há uma sutileza aqui para determinar o comprimento máximo, mas eu o ignoro).$|\psi(0)\rangle = |q_0\rangle |T_0\rangle |1\rangle$$T_0\in \Gamma^*$$x\in\Sigma^*$

A cada etapa do tempo, o estado do QTM evolui de acordo com alguns$U$

Observe que o estado a qualquer momento é dado por . pode ser qualquer unidade que "troque" a fita apenas onde a cabeça está localizada e mova a cabeça um passo para a direita ou esquerda. Ou seja, é zero, a menos que e difira de apenas na posição .$n$$|\psi(n)\rangle = U^n|\psi(0)\rangle$$U$$\langle q',T',i'|U|q,T,i\rangle$$i'= i \pm 1$$T'$$T$$i$

No final do cálculo (quando o QTM atinge um estado ) a fita está sendo medida (usando, digamos, a base computacional).$q_f$

O interessante a ser observado é que cada "etapa" do estado da QTM é uma superposição de configurações possíveis, o que dá à QTM a vantagem "quântica".

A resposta é baseada em Masanao Ozawa, sobre o problema de parada para máquinas de quantum Turing . Veja também David Deutsch, teoria quântica, o princípio de Church-Turing e o computador quântico universal .

Como as notas indicam, a maneira de definir um QTM é definir a função de transição como uma transformação unitária de estado e letra. Então, em cada etapa, você imagina multiplicar o vetor (estado, letra) por uma transformação para obter um novo (estado, letra). Não é particularmente conveniente, mas pode ser definido.