Como provar que os idiomas regulares estão fechados no quociente esquerdo?

é uma linguagem regular sobre o alfabeto Σ = { a , b } . O quociente esquerdo de L em relação a w ∈ Σ ∗ é o idioma w - 1 L : = { v ∣ w v ∈ L $L$$\Sigma = \{a,b\}$$L$$w \in \Sigma^*$

Como posso provar que é regular?$w^{-1}L$

Suponha $M$$L$$w$$M$$q$$M'$$M$$q$$M'$$w^{-1}L$

Agora prove.

Um argumento muito curto produz o famoso Teorema de MyHill e Nerode, que diz que uma linguagem é regular precisamente se tiver um número finito de quocientes. Portanto, para e L ⊆ X ∗ temos u - 1 ( w - 1 L ) = $w \in X^{\ast}$$L \subseteq X^{\ast}$$u^{-1}(w^{-1}L) = (wu)^{-1}L$$w^{-1}L$$L$$L$$w^{-1}L$