Teoremas de pontes para teoria de grupos e linguagens formais

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Existe alguma maneira natural ou notável de relacionar ou vincular grupos de matemática e linguagens formais de CS ou algum outro conceito central de CS, por exemplo, máquinas de Turing?

Estou à procura de referências / aplicações. No entanto, note que estou ciente do vínculo entre semigrupos e idiomas CS (ou seja, através de autômatos finitos ). (Essa literatura sobre semiautomatos sempre examina "autômatos de grupo"?)

Eu vi um artigo há muitos anos que pode se aproximar, que converte as tabelas de transição da TM em uma operação binária, possivelmente às vezes um grupo em alguns casos, concebivelmente baseado em algum tipo de simetria na tabela de estados da TM. Não explorou isso em particular, mas também não descartou.

Além disso, em particular, no que diz respeito ao grande corpo de pesquisas em matemática sobre classificação de grupos finitos , existe ou poderia ter algum significado ou interpretação no TCS? Qual é a visão das "lentes algorítmicas" desse enorme edifício da pesquisa matemática? O que é "dizer" sobre uma possível estrutura oculta em computação?

Esta pergunta é parcialmente inspirada por outras notas, por exemplo:

vzn
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A pergunta no Mathoverflow está relacionada a esta pergunta.
Scaaahu
Estou pensando em mudar minha pergunta. Qual é a classe de idiomas aceita pelos DFAs cujos monoides de transição são grupos de permutação transitiva? no Math.SE aqui, dependendo do resultado desta pergunta.
Scaaahu 18/09/2013
@scaaahu Acho que a teoria de grupos se encaixa muito melhor do que a combinatória . Também pense que você deve colocar sua pergunta sobre matemática aqui em qualquer caso.
Raphael

Respostas:

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p . Resultados semelhantes são conhecidos para grupos nilpotentes finitos, grupos solúveis e grupos supersolúveis.

Grupos finitos também desempenham um papel importante no problema de encontrar um conjunto completo de identidades para expressões regulares. Um conjunto completo infinito foi proposto por John Conway e essa conjectura foi finalmente provada por D. Krob. Há um número finito de identidades "básicas", além de uma identidade para cada grupo simples finito . Veja minha resposta a esta pergunta para referências.

Na direção oposta, a teoria dos autômatos finitos leva a uma prova elementar dos resultados básicos da teoria dos grupos combinatórios, como a fórmula de Schreier. Baseado no artigo seminal de Stallings, Topology of Finite Graphs .

Também na direção oposta, grupos automáticos são definidos em termos de autômatos finitos.

Grupos profinitos também desempenham um papel importante na teoria dos autômatos. Um exemplo é a caracterização das linguagens regulares reconhecidas por autômatos reversíveis à transição com possivelmente vários estados iniciais e finais.

Para uma conexão muito agradável entre linguagens sem contexto, grupos e lógica, consulte o artigo de David E. Muller e Paul E. Schupp, Linguagens sem contexto, grupos, teoria dos fins, lógica de segunda ordem, problemas de ladrilhos, celular autômatos e sistemas de adição de vetores .

J.-E. PIN
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p-group / p-regular , wikipedia
vzn
p
oops, obrigado por esclarecer! grupos p ? a propósito, da mesma forma, você conhece alguma conexão CS para grupos infinitos?
precisa saber é o seguinte
@vzn O artigo de Muller e Schupp trata de grupos infinitos. Ele deu origem à noção de grupo sem contexto . Da mesma forma, grupos profinitos livres são infinitos.
J.-E.
@ vzn Eu também adicionei grupos automáticos na minha resposta. Existe uma grande literatura sobre esses grupos.
J.-E.
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Quanto à classificação dos grupos finitos simples, tanto quanto me lembro, é implicitamente usado em alguns algoritmos para isomorfismo de grupo, um problema relacionado ao isomorfismo de gráfico.

Yuval Filmus
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Yuval, acho que você se refere ao problema de isomorfismo de grupo (com os grupos dados como tabelas de multiplicação) para grupos simples finitos. Pela classificação, eles têm um grupo gerador de tamanho no máximo dois, o que fornece um algoritmo muito fácil: mathoverflow.net/questions/59213/… .
Sasho Nikolov
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Uma área de estudo famosa na teoria das apresentações em grupo é o problema da palavra para grupos . Uma apresentação em grupo é feita por vários geradoresg1,...,gm e um monte de equações uma1=b1,...,uman=bnque o grupo gerado precisa satisfazer. Agora com duas palavrasx,y{g1,...,gm}, ou seja, duas cordas sobre o alfabeto {g1,...,gm}, faz sentido perguntar se x=ymantém no grupo gerado. Este é o problema da palavra . Podemos decidir a palavra problema mecanicamente? Esse era um problema aberto de longa data, resolvido negativamente em 1955: existe um grupo G finitamente gerado (de fato, apresentado finitamente), de tal modo que a palavra problema para G é indecidível. No entanto, para muitas classes de grupos, o problema da palavra é decidível, por exemplo, grupos finitos e grupos de tranças .

Existem muitos resultados profundos que fornecem condições para classes de grupos com problemas de palavras solucionáveis. Também é interessante estudar a complexidade de decidir problemas de palavras (para classes de grupos que têm um problema de palavras decidível), veja, por exemplo, aqui .

Martin Berger
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Essa complexidade de decidir problemas de palavras era exatamente o que eu procurava. Parece estabelecer uma correspondência interessante (equivalência?) Ao teste de identidade polinomial probabilístico, se uma representação de programa em linha reta for usada para o grupo livre (o que parece também se aplicar ao teste de identidade para o monóide livre).
Thomas Klimpel
@ThomasKlimpel Você poderia dizer mais sobre o relacionamento com o PIT?
Martin Berger
Bem, acontece que na verdade é PIT de polígonos constantes (ou seja, sem variáveis) sobre Z. Essa relação vem da multiplicação das matrizes inteiras 2x2, porque essa multipicação pode ser feita inteiramente na representação de programas em linha reta. Mas, mesmo para o PIT de polígonos constantes sobre Z, atualmente não existe derandomização conhecida, portanto, pode ser um bom relacionamento.
Thomas Klimpel
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No Google, encontrei o artigo Monoides profinitos relativamente gratuitos: uma introdução e exemplos, em Semigrupos, Línguas Formais e Grupos, por Jorge Almeida (tradução em inglês no Journal of Mathematics Sciences , 144 (2): 3881–3903, 2007) em este assunto.

xuan-gottfried Yang
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Bem vindo ao site! Editei sua postagem para incluir uma citação completa no jornal, caso o link acabe. Seria útil se você pudesse fornecer um pouco mais de informações sobre como este documento responde à pergunta.
David Richerby