Por que o ponto menos fixo (lfp) é importante na análise do programa

11

Estou tentando obter uma visão geral da importância do ponto menos fixo (lfp) na análise de programas. Por exemplo, a interpretação abstrata parece usar a existência de lfp. Muitos trabalhos de pesquisa sobre análise de programas também se concentram fortemente em encontrar o ponto menos fixo.

Mais especificamente, este artigo na wikipedia: Teorema de Knaster-Tarski menciona que o lfp é usado para definir a semântica do programa.

Por que isso é importante? Qualquer exemplo simples me ajuda. (Estou tentando obter uma imagem grande).

EDITAR

Acho que minha redação está incorreta. Não questiono a importância do lfp. Minha pergunta exata (iniciante) é: Como a computação lfp ajuda na análise de programas? Por exemplo, por que / como a interpretação abstrata usa lfp? o que acontece se não houver lfp no domínio abstrato?

Espero que minha pergunta seja mais concreta agora.

RAM
fonte
@DW Esta é uma pergunta para iniciantes na análise de programas. Eu me debati várias vezes antes de postar a pergunta, se ela parecer muito vaga. O que estou procurando é: Qual o papel do lfp na análise do programa (com certeza é importante, mas como?). Estou procurando uma resposta que não se aprofunde em muitos detalhes matemáticos. Penso que a redacção da minha pergunta também não é clara. Vou editar a pergunta.
Ram
@DW Concordo que isso pode não ser uma pergunta bem pesquisada. No entanto, sempre que continuo lendo jornais, muitos detalhes matemáticos e rapidamente perco a visão geral. Por exemplo, mais concretamente, este artigo [Widening for Control-Flow] ( berkeleychurchill.com/research/papers/vmcai14.pdf ) parece muito abstrato para mim. Apela diretamente para o cálculo do menor ponto fixo. A maioria dos trabalhos em análise de programas parece estar preocupada com essa questão em linhas semelhantes. Eu perdi o quadro geral. Ficarei feliz em saber por que a computação lfp é importante.
Ram

Respostas:

13

Qualquer forma de recursão ou iteração na programação é realmente um ponto fixo. Por exemplo, um whileloop é caracterizado pela equação

while b do c done  ≡  if b then (c ; while b do c done)

ou seja, while b do c doneé uma solução Wda equação

W  ≡  Φ(W)

onde Φ(x) ≡ if b then (c ; x). Mas e se Φtiver muitos pontos fixos? Qual corresponde ao whileloop? Uma das idéias básicas da semântica de programação é que é o ponto menos fixo.

Vamos dar um exemplo simples, desta vez recursão. Vou usar Haskell. A função recursiva fdefinida por

f :: a -> a
f x = f x

é a função indefinida em todos os lugares, porque ela é executada para sempre. Podemos reescrever essa definição de uma maneira mais incomum (mas ainda funciona em Haskell) como

f :: a -> a
f = f

Assim fé um ponto fixo da função de identidade:

f ≡ id f

Mas toda função é um ponto fixo de id. Sob a ordem teórica usual do domínio, "indefinido" é o menor elemento. E, de fato, nossa função fé a função indefinida em todos os lugares.

whilenx1,...,xnVVnVn{}(v1,...,vn)VnVnVnVn{}

  • Vn{}VnVnVn{}
  • while true do skip done
  • toda sequência crescente tem um supremo

Só para você ter uma idéia de como isso funciona, a semântica do programa

x_1 := e

(v1,...,vn)Vnvee(v1,...,vn)(ve,v2,...,vn)

Andrej Bauer
fonte
1
+1 no exemplo while. No entanto, estou um pouco confuso. But what if Φ has many fixed points?Enquanto eu entendo a equação do ponto fixo, neste contexto, W \ em L? Como definimos a rede aqui? Agradeço sua elaboração adicional sobre isso.
Ram
No comentário acima, eu estou usando "L" em repouso por uma rede (ou um poset)
Ram
Eu alterei a resposta.
Andrej Bauer
Obrigado pela atualização. Eu particularmente aprecio isso porque me deu uma visão diferente de olhar para os programas. Agora estou lendo "Teoria do ponto fixo" em "Semântica com aplicativos: uma introdução formal" por Nielson, que completou a visão sobre a construção de uma rede a partir de funções parciais para a linguagem IMP.
Ram
6

Aqui está a intuição: menos pontos fixos ajudam a analisar loops.

A análise do programa envolve a execução do programa - mas abstraindo alguns detalhes dos dados. Tudo isso é bom. A abstração ajuda a análise a ir mais rápido do que realmente executar o programa, porque permite ignorar aspectos que não lhe interessam. Por exemplo, é assim que a interpretação abstrata funciona: basicamente simula a execução do programa, mas apenas acompanha as informações parciais sobre o estado do programa.

A parte complicada é quando você chega a um loop. O loop pode ser executado muitas e muitas vezes. Normalmente, você não deseja que a análise do programa tenha que executar todas essas iterações do loop, porque a análise do programa levará muito tempo ... ou talvez nem seja finalizada. Então, é aí que você usa um ponto menos fixo. O ponto menos fixo basicamente caracteriza o que você pode dizer com certeza será verdadeiro depois que o loop terminar, se você não souber quantas vezes o loop irá iterar.

É para isso que serve o ponto menos fixo. Como os loops estão presentes nos programas, menos pontos fixos são usados ​​na análise do programa. Os pontos menos fixos são importantes porque os loops estão em toda parte e é importante poder analisar loops.

Aliás, recursão e recursão mútua são apenas outra forma de loop - então elas também tendem a ser tratadas com um ponto menos fixo.

DW
fonte