Versão construtiva da decidibilidade?

Hoje, no almoço, levantei essa questão com meus colegas e, para minha surpresa, o argumento de Jeff E. de que o problema é decidível não os convenceu ( aqui está uma publicação intimamente relacionada ao mathoverflow). Uma declaração de problema que é mais fácil de explicar ("é P = NP?") Também é decidível: sim ou não e, portanto, um dos dois TMs que sempre emitem essas respostas decide o problema. Formalmente, podemos decidir o conjunto : a máquina que gera somente para a entrada e, caso contrário, decide, ou a máquina que faz isso para a entrada .1 1 0 $S :=\{|\{P, NP\}|\}$$1$$1$$0$$2$

Um deles resumiu-se basicamente a essa objeção: se esse é o quão fraco é o critério de decidibilidade - o que implica que toda questão que podemos formalizar como uma linguagem que podemos mostrar finita é decidível - então devemos formalizar um critério que não gera nenhum problema com muitas respostas possíveis que são formalizáveis ​​dessa maneira, decidíveis. Embora o seguinte seja possivelmente um critério mais forte, sugeri que talvez isso pudesse ser feito com precisão, exigindo que a decidibilidade dependesse da capacidade de mostrar uma MT, propondo basicamente uma visão intuicionista do assunto (para a qual não me inclino - nem qualquer um dos meus colegas, todos eles aceitam a lei do meio excluído).

As pessoas formalizaram e possivelmente estudaram uma teoria construtiva da decidibilidade?

Eu acho que a pergunta que você está tentando fazer é "a teoria da computabilidade é construtiva?". E essa é uma pergunta interessante, como você pode ver nesta discussão na lista de discussão Fundamentos da Matemática.

Sem surpresa, foi considerado, uma vez que muita teoria da recursão foi desenvolvida por pessoas com sensibilidade construtiva e vice-versa. Veja, por exemplo, o livro de Besson e a venerável Introdução à Metamatemática . É bastante claro que os dois primeiros capítulos da teoria da recursão sobrevivem a uma configuração construtiva com mudanças mínimas: por exemplo, o teorema snm, o teorema de Rice ou os teoremas de recursão Kleene sobrevivem inalterados.

Após os primeiros capítulos, porém, as coisas ficam um pouco mais difíceis. Em particular, os níveis mais altos da hierarquia aritmética são geralmente definidos por uma noção de verdade. Em particular, teoremas amplamente utilizados, como o Teorema da Base Baixa, parecem explicitamente não construtivos.

Talvez uma resposta mais pragmática, no entanto, seja que essas "linguagens paradoxalmente computáveis" sejam simplesmente uma idiossincrasia, que pode (e foi!) Estudada extensivamente, como conjuntos de reais não mensuráveis, mas que uma vez que a surpresa inicial tenha sido superado, pode-se passar para coisas mais interessantes.

Na lógica clássica, toda afirmação é verdadeira ou falsa em qualquer modelo. Por exemplo, qualquer declaração de primeira ordem sobre números naturais é verdadeira ou falsa no "mundo real" (conhecido neste contexto como aritmética verdadeira ). E o teorema da incompletude de Gödel, então? Apenas afirma que nenhuma axiomatização recursivamente enumerável da aritmética verdadeira está completa.

Em relação a vs. , a maioria dos pesquisadores acredita que , alguns que e alguns deles entretêm o crença de que é independente de (digamos) ZFC. Suponha que você esteja disposto a admitir que, de fato, não é independente do ZFC (da mesma maneira que está disposto a admitir que o ZFC é consistente em primeiro lugar). Nesse caso, existe uma máquina de Turing completamente explícita que calcula seu idioma. A máquina procura provas de ou até que uma seja encontrada, e prossegue de acordo. Nós podemos provarN P P ≠ N P P = N P P = N P P ≠ N $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} = \mathsf{NP}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ que esta máquina aceita seu idioma, mesmo que ainda não saibamos exatamente o que é esse idioma!

Se você não está disposto a admitir que é decidido pelo ZFC, você ainda pode perguntar se existe uma máquina de Turing explícita que aceita seu idioma. Deixo essa pergunta incompreensível para o leitor interessado.$\mathsf{P} \stackrel{?}{=} \mathsf{NP}$

(isenção de responsabilidade, uma resposta confusa a uma pergunta confusa que talvez se encaixe melhor na história ). a construtibilidade é um "grande negócio" em matemática teórica, mas aparece especialmente em contextos contínuos, como o paradoxo semifamiano de Banach-Tarski . esses paradoxos geralmente não parecem ter aparecido em "CS mais discretos " até agora " . Então, o que é (o analógico / paralelo de) construtibilidade no CS? a resposta não parece tão clara. é um conceito originário da pesquisa matemática mais do que CS e os dois parecem não estar muito ligados nesse ponto em particular "até agora" .

Uma resposta é que a teoria da decidibilidade realmente parece ser uma variação da construtibilidade, ou seja, é um método estrito de determinar quais conjuntos são computáveis ​​e que parecem estar intimamente conectados.

a construtibilidade no coração lida com algumas questões de "independência do ZFC" e essas áreas são consideradas detalhadamente neste artigo por Aaronson wr P vs NP, P vs NP é formalmente independente? .

não é realmente mostrado que "paradoxos" parecem apontar para questões de construtibilidade, mas alguém pode considerar isso como um guia aproximado para uma analogia aproximada, como no artigo de Aaronsons, onde ele considera, por exemplo, resultados de oráculos que parecem ter algum sabor "paradoxal" em particular Baker Gill 1975 Solovay resultado que existem oráculos tanto tal que P ^A = NP ^A e P ^B ≠ NP ^B . outros paradoxais como thms são os teoremas de Blum gap e speedup .

também é apenas uma coincidência que o CS se concentre nas funções construtivas do "tempo / espaço" em seus teoremas fundamentais da hierarquia do tempo / espaço? (que exclui paradoxos semelhantes a Blum quase "por design" ?)

Outra resposta é que isso está sob investigação / pesquisa ativa, por exemplo, como nesta descoberta. sabe-se que a construtibilidade está ligada aos "grandes cardeais" em matemática: estratégias vencedoras para jogos infinitos: dos grandes cardeais à ciência da computação / Ressayre.

Usando o grande axioma cardinal dos “cortantes”, Martin provou a determinação analítica: a existência de uma estratégia vencedora para um dos jogadores em todo jogo infinito de informações perfeitas entre dois jogadores, desde que o conjunto vencedor de um dos jogadores seja analítico. 1. Modifico e complemento sua prova para obter uma nova prova do teorema de Rabin, Buechi-Landweber, Gurevich-Harrington da determinação de estados finitos: existência de uma estratégia vencedora calculada por uma máquina de estados finitos, quando os conjuntos vencedores do jogador são finitos estado aceito.