Um par de ciclos homotópicos separados no dual separa o gráfico?

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Seja um gráfico incorporado em uma superfície compacta orientável do gênero modo que a incorporação seja celular. Considere o duplo do gráfico . Sejam e ciclos disjuntos em que são homotópicos entre si e que eGgGC1C2GE1E2 sejam seus conjuntos de arestas correspondentes em respectivamente. É G ( E 1E 2 ) um gráfico desconectado?GG(E1E2)

Kaveh
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Respostas:

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Sim. Deixe-me escrever para a superfície em que G e G estão incorporados.ΣGG

Porque os ciclos de e C 2 são homotópicas, eles também estão no mesmo Z 2 classe -homology. Assim, por definição, a diferença simétrica C 1C 2 é o limite da união de algum subconjunto de faces de G ; chamar essa união de rostos U . (Na verdade, quer U ou o seu complemento Σ U deve ser um anel, mas isso não é importante.)C1C2Z2C1 1C2GvocêvocêΣvocê

Como e C 2 são disjuntos, a diferença simétrica C 1C 2 é igual à união C 1C 2 . Em particular, nós temos C 1C 2 , o que implica que tanto L e o seu complemento Σ L são não-vazia. Em outras palavras, a subsuperfície Σ ( C 1C 2 ) está desconectada.C1 1C2C1 1C2C1 1C2C1 1C2vocêΣvocêΣ(C1 1C2)

Qualquer caminho em pode ser visto como um caminho em Σ que evita os vértices de G e vice-versa (até a homotopia). Assim, o (gráfico) componentes de L ( E 1E 2 ) correspondem ao bijectively (superfície) componentes de Σ ( C 1C 2 ) . Concluímos que G ( E 1E 2 ) está desconectado.GΣGG(E1E2)Σ(C1C2)G(E1E2)

A suposição de que é orientável nunca é usada.Σ

Jeffε
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Jeff, você pode me indicar uma referência que contenha esse resultado?
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Desculpe, não. Porém, a observação de que dois ciclos homotópicos simples e não contratuais separados vinculam um espaço anular (o que leva você até lá) aparece em David BA Epstein. Curvas em 2 variedades e isotopias. Acta Mathematica 115: 83-107, 1966.
Jeffε 7/12/12