Sim. Deixe-me escrever para a superfície em que G e G ∗ estão incorporados.ΣGG∗
Porque os ciclos de e C 2 são homotópicas, eles também estão no mesmo Z 2 classe -homology. Assim, por definição, a diferença simétrica C 1 ⊕ C 2 é o limite da união de algum subconjunto de faces de G ∗ ; chamar essa união de rostos U . (Na verdade, quer U ou o seu complemento Σ ∖ U deve ser um anel, mas isso não é importante.)C1 1C2Z2C1 1⊕ C2G∗vocêvocêΣ ∖ U
Como e C 2 são disjuntos, a diferença simétrica C 1 ⊕ C 2 é igual à união C 1 ∪ C 2 . Em particular, nós temos C 1 ⊕ C 2 ≠ ∅ , o que implica que tanto L e o seu complemento Σ ∖ L são não-vazia. Em outras palavras, a subsuperfície Σ ∖ ( C 1 ∪ C 2 ) está desconectada.C1 1C2C1 1⊕ C2C1 1∪ C2C1 1⊕ C2≠ ∅vocêΣ ∖ UΣ ∖ ( C1 1∪ C2)
Qualquer caminho em pode ser visto como um caminho em Σ que evita os vértices de G ∗ e vice-versa (até a homotopia). Assim, o (gráfico) componentes de L ∖ ( E 1 ∪ E 2 ) correspondem ao bijectively (superfície) componentes de Σ ∖ ( C 1 ∪ C 2 ) . Concluímos que G ∖ ( E 1 ∪ E 2 ) está desconectado.GΣG∗G ∖ ( E1 1∪E2)Σ∖(C1∪C2)G∖(E1∪E2)
A suposição de que é orientável nunca é usada.Σ