Distinguir entre estados quânticos

Dado um estado quântico escolhido uniformemente aleatoriamente a partir de um conjunto de estados mistos , qual é a probabilidade média máxima de identificar corretamente ? N ρ 1 . . . ρ N$\rho_A$$N$$\rho_1 ... \rho_N$$A$

Esse problema pode ser transformado em um problema de diferenciação de dois estados, considerando o problema de distinguir de .ρ B = $\rho_A$$\rho_{B} = \frac{1}{N-1}\sum_{i\neq A}\rho_i$

Eu sei que, para dois estados quânticos, o problema tem uma boa solução em termos da distância de rastreamento entre os estados quando você minimiza a probabilidade máxima de erro, em vez de minimizar a probabilidade média de erro, e eu esperava que houvesse algo semelhante para este caso. É claro que é possível escrever a probabilidade em termos de otimização sobre POVMs, mas espero por algo em que a otimização já tenha sido realizada.

Sei que há uma enorme literatura sobre a capacidade de distinguir estados quânticos e tenho lido vários artigos nos últimos dias tentando encontrar a resposta para essa pergunta, mas estou tendo problemas para encontrar a resposta para isso. variação particular do problema. Espero que alguém que conheça melhor a literatura possa me poupar algum tempo.

A rigor, não preciso da probabilidade exata, um bom limite superior seria necessário. Entretanto, a diferença entre qualquer estado e o estado misto máximo é bem pequena, portanto o limite teria que ser útil nesse limite.

Como você mencionou, é possível determinar numericamente a probabilidade ótima de sucesso médio, o que pode ser feito com eficiência por meio de programação semidefinida (veja, por exemplo, este artigo de Eldar, Megretski e Verghese ou estas notas de aula de John Watrous), mas nenhuma expressão fechada é conhecido.

No entanto, existem vários limites superiores e inferiores conhecidos sobre a probabilidade de erro (ou seja, 1 menos a probabilidade média de sucesso). Em termos de fidelidade aos pares, a probabilidade de erro em sua configuração é conhecida como sendo mais baixa por e superior por .$\frac{1}{N^2} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)$$\frac{2}{N} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)^{1/2}$

Há também outro limite inferior conhecido em termos de distância do rastreamento: , que reduz ao Helstrom exato ligado no caso . Veja este documento para uma comparação de todos esses e outros limites também. Observe que todos esses limites se mantêm na configuração de caso médio, onde há uma distribuição de probabilidade anterior nos estados.N=$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{N(N-1)} \sum_{i>j} tr|\rho_i-\rho_j|)$$N=2$