Distinguir entre estados quânticos

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Dado um estado quântico escolhido uniformemente aleatoriamente a partir de um conjunto de estados mistos , qual é a probabilidade média máxima de identificar corretamente ? N ρ 1 . . . ρ N AρANρ1...ρNA

Esse problema pode ser transformado em um problema de diferenciação de dois estados, considerando o problema de distinguir de .ρ B = 1ρAρB=1N1iAρi

Eu sei que, para dois estados quânticos, o problema tem uma boa solução em termos da distância de rastreamento entre os estados quando você minimiza a probabilidade máxima de erro, em vez de minimizar a probabilidade média de erro, e eu esperava que houvesse algo semelhante para este caso. É claro que é possível escrever a probabilidade em termos de otimização sobre POVMs, mas espero por algo em que a otimização já tenha sido realizada.

Sei que há uma enorme literatura sobre a capacidade de distinguir estados quânticos e tenho lido vários artigos nos últimos dias tentando encontrar a resposta para essa pergunta, mas estou tendo problemas para encontrar a resposta para isso. variação particular do problema. Espero que alguém que conheça melhor a literatura possa me poupar algum tempo.

A rigor, não preciso da probabilidade exata, um bom limite superior seria necessário. Entretanto, a diferença entre qualquer estado e o estado misto máximo é bem pequena, portanto o limite teria que ser útil nesse limite.

Joe Fitzsimons
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Como a probabilidade de resposta correta é o valor máximo de um programa semidefinido, geralmente é útil considerar o dual para obter um limite superior.
Tsuyoshi Ito
@TsuyoshiIto: De fato, mas acho que esse problema foi bem estudado e que pode haver um resultado fixo.
9788 Joe Spitzerman
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Você sabe se as perguntas análogas para as distribuições clássicas de probabilidade têm uma boa resposta? O resultado da "distância do traço" mencionado é uma generalização do uso da "distância estatística" (também conhecida como "distância total de variação") para distribuições clássicas. [No caso clássico, a estratégia natural é escolher a distribuição com maior probabilidade de gerar uma saída específica. Você pode escrever para baixo uma forma fechada para a sua probabilidade de sucesso, embora eu não sei se ele pode ser expressa em termos de uma quantidade simples (como a distância média entre as distribuições)].
Adam Smith
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@ AdamSmith: Parece classicamente que você pode apenas ponderar cada distribuição pela probabilidade de ocorrência e, em seguida, escolher a que mais provavelmente fornecerá o resultado observado.
Joe Fitzsimons

Respostas:

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Como você mencionou, é possível determinar numericamente a probabilidade ótima de sucesso médio, o que pode ser feito com eficiência por meio de programação semidefinida (veja, por exemplo, este artigo de Eldar, Megretski e Verghese ou estas notas de aula de John Watrous), mas nenhuma expressão fechada é conhecido.

No entanto, existem vários limites superiores e inferiores conhecidos sobre a probabilidade de erro (ou seja, 1 menos a probabilidade média de sucesso). Em termos de fidelidade aos pares, a probabilidade de erro em sua configuração é conhecida como sendo mais baixa por e superior por .21N2i>jF(ρi,ρj)2Ni>jF(ρi,ρj)1/2

Há também outro limite inferior conhecido em termos de distância do rastreamento: , que reduz ao Helstrom exato ligado no caso . Veja este documento para uma comparação de todos esses e outros limites também. Observe que todos esses limites se mantêm na configuração de caso médio, onde há uma distribuição de probabilidade anterior nos estados.N=212(11N(N1)i>jtr|ρiρj|)N=2

Ashley Montanaro
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Incrível, obrigado Ashley. O limite inferior da probabilidade de erro em termos de distância de rastreamento é praticamente o que eu estava procurando. Na verdade, meu plano de backup, caso eu não tivesse conseguido uma boa resposta, seria enviar um e-mail para você, pois sei que você trabalhou nessas coisas.
Joe Fitzsimons
Existem limites que funcionam bem no limite da probabilidade de erro estar próximo de 1? A distância de rastreamento que parece estar no máximo em 1/2. Estou tentando a fidelidade no momento, mas acho que não consigo calcular a fidelidade no problema em que estou trabalhando, e os limites que você dá parecem muito sensíveis a erros aditivos.
9118 Joe Fitzsimons
Na verdade, o limite inferior da fidelidade também parece atingir o máximo em 1/2. Eu estou esperando por algo mais forte, pois eu quero provar a probabilidade de erro é algo como por muito pequena . ϵ1ϵϵ
Joe Fitzsimons