Feedback Vertex Set é NP-complete para gráficos gerais. É conhecido por ser NP-completo para gráficos limitados ao grau 8 devido a uma redução da cobertura de vértices. O artigo da Wikipedia diz que é poli-tempo solucionável para gráficos com limite de grau 3 e é NP completo para gráficos com limite de grau 4. Mas não consegui encontrar nenhuma prova disso em nenhum lugar. É verdade?
Qual é o valor mínimo d de tal modo que o FVS nos gráficos delimitados por graus d é NP-completo?
Respostas:
O algoritmo de Li e Liu está incorreto (é publicado na China, embora em inglês). O algoritmo de Ueno et al. Está correto, e um algoritmo semelhante pode ser encontrado em Furst et al. 1 . Ambos os algoritmos reduzem o problema ao problema de paridade matróide polinomial-solucionável [3].
Sua redução do VC garante a dureza NP para o gráfico delimitado de grau 6! Como o VC já é NP-hard em gráficos cúbicos. Speckenmeyer afirmou que sua tese [4] contém a prova da dureza NP da FVS em gráficos planares de grau máximo quatro, mas é muito difícil de encontrar (eu aprecio muito se quem tem acesso à sua tese pode me enviar uma cópia ) Felizmente, uma nova prova da dureza NP dos gráficos com limite de quatro graus pode ser encontrada em 2 :
Comentários sobre 2 : - De fato, ele provou que o problema é difícil para APX, mas é fácil verificar que suas reduções também são válidas para a prova de dureza NP do problema. - Sua redução NÃO se aplica a gráficos planares.
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As referências relevantes parecem ser:
Ueno, Shuichi; Kajitani, Yoji; Gotoh, Shin'ya. No problema do conjunto independente não separável e no problema do conjunto de feedback para gráficos sem grau de vértice superior a três. Anais da Primeira Conferência do Japão sobre Teoria e Aplicações de Gráficos (Hakone, 1986). Matemática discreta. 72 (1988), n. 1-3, 355–360 .
Li, Deming; Liu, Yanpei. Um algoritmo polinomial para encontrar o conjunto de vértices de feedback mínimo de um gráfico simples de três regulares. Acta Math. Sci. 19 (1999), n. 4, 375-381.
(Aviso: eu não li nenhum deles, mas ambos afirmam resolver o problema em tempo polinomial. Não acho que a diferença entre o 3º e o 3º grau seja importante para esse problema.)
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