Barreiras à separação de outras classes de complexidade

Do natural Provas , Relativização e algebrização também afectar a separação de outras classes de complexidade como etc?$L\neq NL\neq NP\neq coNP \neq PH\neq PSPACE$

Por exemplo barreira prova natural deve afectar qualquer prova de , uma vez que irá separar P ≠ N P . No entanto relação entre N P e C O N P não parece ter muito com OWFs em comparação com relação entre P e N P . Então as provas naturais afetam a separação mais forte de N P ≠ C o N P ?$NP\neq CoNP$$P\neq NP$$NP$$CoNP$$P$$NP$$NP\neq CoNP$

Existem (pelo menos) duas áreas em que as barreiras existentes têm pouco a dizer:

Limites inferiores do ACC Não há barreira conhecida para provar que o TC0 não está no ACC (não uniforme) - além da possibilidade de que a separação seja falsa. Não está claro se a barreira das Provas Naturais deve ser aplicada ao ACC. A questão se resume a: devemos esperar que haja funções pseudo-aleatórias implementáveis ​​no ACC?

LOGSPACE vs NP Como apontado por Fortnow , os mecanismos oracle existentes para computação limitada no espaço não parecem apresentar uma barreira real para LOGSPACE vs NP. Que eu saiba, os modelos conhecidos de oráculo que produzem um colapso de LOGSPACE e NP também colapsam ALTERNATING LOGSPACE (ou seja, P) e ALTERNATING POLYTIME (ou seja, PSPACE); portanto, esses oráculos tratam modelos computacionais alternados inconsistentemente com a realidade (já que LOGSPACE não é igual para PSPACE).

O resultado de Razborov e Rudich em seu papel de provas naturais é bastante geral. Ele não se limita a vs N P .$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$

Pessoalmente, gosto da clareza da explicação no livro recente de Stasys Jukna " Complexidade da função booleana: avanços e fronteiras ":

Definição 18.30. Uma função com l < n é chamada de gerador pseudo-aleatório seguro ( s , ϵ ), se for para qualquer circuito C de tamanho s em n variáveis, | P r [ C ( y ) = 1 ] - P r [ C ( G $G : \{0,1\}^l \to \{0,1\}^n$$l < n$$(s,\epsilon)$$C$$s$$n$ onde Y é escolhido uniformemente aleatoriamente em { 0 , 1 } n , e x em { 0 , 1 } l .

$$|Pr[C(y) = 1] − Pr[C(G(x)) = 1]| < \epsilon,$$ $y$$\{0,1\}^n$$x$$\{0,1\}^l$

Definição 18.31. Seja uma função booleana. Dizemos que f é ( s , ϵ ) -hard se for para qualquer circuito C de tamanho s , | P r [ C ( x ) = f ( x ) ] - $f : {0,1}^n \to {0,1}$$f$$(s,\epsilon)$$C$$s$ ondexé escolhido uniformemente aleatoriamente em{0,1}n.

$$|Pr[C(x) = f(x)] − \frac{1}{2}| < \epsilon,$$ $x$$\{0,1\}^n$

Um gerador de função pseudo-aleatória é uma função booleana . Definindo as variáveis y aleatoriamente, obtemos sua subfunção aleatória f y ( x ) = f ( x , y ) . Seja h : { 0 , 1 } n → { 0 , $f(x,y) : \{0,1\}^{n+n^2} \to \{0,1\}$$y$$f_y(x) = f(x,y)$ seja uma função booleana verdadeiramente aleatória. Um gerador de f ( x , y ) é seguro contra Γ -attacks se para cada circuito de C em Γ , | P r [ C ( f y ) = 1 ] - P r [ C ( H ) = 1 ] | < 2 - n 2$h : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$f(x,y)$$\Gamma$$C$$\Gamma$

$$|Pr[C(f_y) = 1] − Pr[C(h) = 1]| < 2^{−n^2}.$$

Um prova -natural contra Λ é uma propriedade Φ : B n → 0 , 1 satisfazendo as seguintes três condições: 1. Utilidade contra Λ : Φ ( f ) = 1 implica f ∉ Λ . 2. Amplitude: Φ ( f ) = 1 para pelo menos 2 - O ( n ) fração de todas as 2 2 n funções f $\Gamma$$\Lambda$$\Phi : B_n \to {0,1}$
$\Lambda$$\Phi(f) = 1$$f \notin \Lambda$
$\Phi(f) = 1$$2^{−O(n)}$$2^{2^n}$ . 3. Construtividade: Φ ∈ Γ , ou seja, quando vista como uma função booleana em N = 2 n variáveis, a propriedade Φ pertence à classe Γ . $f \in B_n$
$\Phi \in \Gamma$$N = 2^n$$\Phi$$\Gamma$

Teorema 18.35. Se uma classe de complexidade contiver um gerador de função pseudo-aleatória seguro contra ataques Γ, não haverá prova natural de Γ contra Λ .$\Lambda$$\Gamma$$\Lambda$

A questão é: 1. Acreditamos se existem funções tão difíceis? 2. Quão construtivas / grandes esperamos que as propriedades das provas de separação atualmente possíveis sejam?

Por outro lado, Razbarov mencionou em vários lugares que ele pessoalmente vê o resultado como um guia para o que evitar e não como um obstáculo essencial para provar limites inferiores.

Além dos documentos de Ryan Williams durante os últimos anos, havia dois documentos que ele mencionou:

1. $\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

2. $\mathsf{NC^1}$$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{TC^0}$

A relativização e a álgebra são um pouco mais complicadas e dependem da maneira como definimos a reativação para essas classes. Mas, como regra geral, diagonalização simples (uma diagonalização que usa o mesmo contra-exemplo para todas as máquinas que computam a mesma função, ou seja, o contra-exemplo depende apenas de quais máquinas na computação menor e não depende do código e de como elas calculam ) não pode separar essas classes.

É possível extrair funções de diagonalização não simples de resultados indiretos de diagonalização, como limites inferiores do espaço-tempo para o SAT.