Exemplo de onde a violação da condição estrita de positividade em tipos indutivos leva à inconsistência

A maioria dos sistemas tipificados dependentes possui condições estritas de positividade para tipos indutivos. Alguém conhece um exemplo em que a violação da condição leva à inconsistência no sistema?

Na verdade, é possível relaxar uma estrita positividade e permanecer consistente. Por exemplo, basta ter apenas uma condição de positividade. Ou seja, podemos aceitar definições de tipo como

$$T \triangleq \mu\alpha. (\alpha \to 2) \to 2$$

onde variáveis ​​de tipo recursivo ocorrem à esquerda de um número par de setas e mantêm a consistência.

No entanto, as teorias que permitem esse tipo de tipo indutivo não possuem modelos teóricos dos conjuntos - você não pode interpretar tipos como conjuntos e termos como elementos de conjuntos. Nesse caso, estamos dizendo que é isomórfico ao seu conjunto de dupla potência (isto é, ), e isso viola o teorema de Cantor .$T$$T \simeq \mathcal{P}(\mathcal{P}(T))$

Como as teorias de tipos dependentes são frequentemente usadas para formalizar a matemática, seus projetistas geralmente hesitam em adicionar princípios que não são compatíveis com uma semântica da teoria dos conjuntos, mesmo que sejam consistentes.

EDIT: Estou adicionando esta edição em resposta à pergunta de Andrej. O tipo é consistente se você o adicionar a (digamos) Agda; não há problemas com isso. Só temos um problema se combinarmos positividade não estrita com meio excluído.$T$

A intuição do porquê é seguro é (IMO) mais bem vista através das lentes da parametridade. No Sistema F, podemos mostrar usando a parametridade que, para qualquer função definível , o tipo é realmente um tipo indutivo.$F$$\mu F \triangleq \forall \alpha.\; (F\alpha \to \alpha) \to \alpha$

Agora, lembre-se de que um functor definível é um operador de tipo , junto com um operador satisfazendo as condições de funcionalidade (por exemplo, e ).$F$$F : \ast \to \ast$

$$\mathrm{map} : \forall \alpha,\beta.\;(\alpha \to \beta) \to F\;\alpha \to F\;\beta$$ $\mathrm{map}\;id = id$$\mathrm{map}\;f\;\circ \mathrm{map}\;g = \mathrm{map}\;(f \circ g$

Agora, podemos definir um operador de tipo para o conjunto de energia duplo

$$C = \lambda \alpha.\; (\alpha \to 2) \to 2$$

e como ocorre apenas positivamente, também podemos definir um operador de mapa para ele:$\alpha$

$$map_C = \lambda f : \alpha \to \beta, a' : (\alpha \to 2) \to 2, k : \beta \to 2.\; a' \;(\lambda a:\alpha.\; k\;(f\;a))$$

Portanto, sabemos que é um tipo indutivo legítimo.$T = \mu C$