Um homomorfismo de um gráfico para um gráfico é um mapeamento de para modo que se e são adjacentes em então e são adjacentes em . Um endomorfismo de um gráfico é um homomorfismo de para si mesmo; é livre de ponto fixo se não houver tal que sejaf V V ′ x y E f ( x ) f ( y ) E ′Gf ( x ) = xnão trivial se não for a identidade.
Recentemente, fiz uma pergunta relacionada a automorfismos poset (e gráficos) , isto é, endomorfismos bijetivos, cujo inverso também é um endomorfismo. Encontrei trabalhos relacionados a contar (e decidir a existência de) automorfismos, mas não foi possível encontrar nenhum resultado relacionado a endomorfismos.
Daí a minha pergunta: qual é a complexidade, dado um gráfico , de decidir a existência de um endomorfismo não trivial de G ou de contar o número de endomorfismos? Mesma pergunta com endomorfismos sem ponto fixo.
Penso que o argumento apresentado nesta resposta se estende a endomorfismos e justifica que o caso de gráficos bipartidos direcionados, ou posets, não é mais fácil do que o problema para gráficos gerais (o problema para gráficos gerais se reduz a esse caso), mas sua complexidade não parece simples de determinar. Sabe-se que decidir a existência de um homomorfismo de um gráfico para outro é difícil para NP (isso é claro, pois generaliza a coloração de gráficos), mas parece que restringir a pesquisa de homomorfismos de um gráfico para si mesmo pode facilitar o problema, portanto, isso não me ajuda a determinar a complexidade desses problemas.