Complexidade dos endomorfismos dos contadores gráficos

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Um homomorfismo de um gráfico G=(V,E) para um gráfico é um mapeamento de para modo que se e são adjacentes em então e são adjacentes em . Um endomorfismo de um gráfico é um homomorfismo de para si mesmo; é livre de ponto fixo se não houver tal que sejaf V V x y E f ( x ) f ( y ) E G=(V,E)fVVxyEf(x)f(y)EGGGf ( x ) = xxf(x)=xnão trivial se não for a identidade.

Recentemente, fiz uma pergunta relacionada a automorfismos poset (e gráficos) , isto é, endomorfismos bijetivos, cujo inverso também é um endomorfismo. Encontrei trabalhos relacionados a contar (e decidir a existência de) automorfismos, mas não foi possível encontrar nenhum resultado relacionado a endomorfismos.

Daí a minha pergunta: qual é a complexidade, dado um gráfico , de decidir a existência de um endomorfismo não trivial de G ou de contar o número de endomorfismos? Mesma pergunta com endomorfismos sem ponto fixo.GG

Penso que o argumento apresentado nesta resposta se estende a endomorfismos e justifica que o caso de gráficos bipartidos direcionados, ou posets, não é mais fácil do que o problema para gráficos gerais (o problema para gráficos gerais se reduz a esse caso), mas sua complexidade não parece simples de determinar. Sabe-se que decidir a existência de um homomorfismo de um gráfico para outro é difícil para NP (isso é claro, pois generaliza a coloração de gráficos), mas parece que restringir a pesquisa de homomorfismos de um gráfico para si mesmo pode facilitar o problema, portanto, isso não me ajuda a determinar a complexidade desses problemas.

a3nm
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Respostas:

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A contagem de endomorfismos ou endomorfismos sem pontos fixos é completa para : dado um gráfico conectado G , considere o gráfico G ', que é a união disjunta de G e um triângulo. Então | Fim ( G ) | = ( | Fim ( G ) | + # 3 C O L ( G ) ) ( # { triângulos em  G } + 3 3 )FP#PGGG|End(G)|=(|End(G)|+#3COL(G))(#{triangles in G}+33), para que o possa ser calculado usando duas contagens de endomorfismo (e, por um resultado geral, apenas um basta) e algum pós-processamento de politempo. Observe que o número de triângulos pode ser contado em tempo cúbico (ou mesmo multiplicação de matrizes). A mesma equação vale para os endomorfismos livres de ponto fixo, uma vez que as três cores e triângulos são endomorfismos livres de ponto fixo de G ' .#3COLG

Se você deseja que seja conectado, faça o seguinte. Primeiro, observe que contar endomorfismos de gráficos coloridos em vértices (onde os vértices da cor c só podem ser mapeados para outros vértices da cor c ) é equivalente a contar os endomorfismos dos grafos, como a seguir. Deixe as cores ser { 1 , . . . , C } . Para cada vértice v da cor c , adicione um novo ciclo ímpar separado C v de tamanho pelo menos n + 2 c ( n = | V (Gcc{1,...,C}vcCvn+2c) e conecte um vértice de C v a v . Todo endomorfismo de G corresponde a 2 n endomorfismos do novo gráfico (para cada ciclo, você tem duas opções de como mapeá-lo). Observe que nenhum vértice de G pode mapear para vértices de qualquer C v , pois os ciclos são muito grandes (você precisaria ajustar um ciclo dentro de outro, o que não é possível para ciclos ímpares).n=|V(G)|CvvG2nGCv

Agora, para criar uma versão do conectada, começamos com uma versão colorida e aplicamos a transformação acima. Comece como antes, adicionando a G um triângulo separado Δ . Agora adicione um único novo vértice v 0 que esteja conectado a todos os vértices em G Δ . Cor v 0 vermelho e todos os outros vértices azuis.GGΔv0GΔv0

Joshua Grochow
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Obrigado! Não tenho certeza da sua fórmula exata para (Eu recebo ( | E n d ( G ) | + # 3 C O L ( G ) ) ( # t r i a n g l e s + 3 3 )|End(G)|(|End(G)|+#3COL(G))(#triangles+33), e algo semelhante para o ponto fixo-livre), mas o argumento ainda é válido. A segunda parte do seu argumento mostra dureza, mesmo assumindo conexão, acho que é verdade, mas acho que não se aplica diretamente a endomorfismos sem pontos fixos (existem pontos fixos nos mapeamentos de ciclo), mas isso não é tão importante. Eu ficaria mais curioso em saber: o problema de decisão é difícil para NP (para endomorfismos não triviais e sem pontos fixos)? Obrigado novamente!
a3nm 21/05
Você está certo sobre a fórmula - eu a atualizei. Para aplicar a segunda parte ao ponto fixo, coloque uma aresta de cada um dos dois vértices maximamente distantes de a v . A contagem de pontos sem pontos fixos será um pouco diferente, mas acho que ainda funciona. (Você também pode precisar aumentar o tamanho dos ciclos ...). Para pares de gráficos rígidos (não há endos não triviais) G , H , decidir existência de endos de L H (união disjuntos) é equivalente a decidir existência de um homomorphism L H ou H L . Quase todos os gráficos são rígidos, por isso é bem possível que a decisão seja difícil para NP ...CvvG,HGHGHHG
Joshua Grochow
OK, acho que comprei o seu argumento para a contagem sem pontos fixos. Para decisão, na verdade, agora percebo que "O núcleo de um gráfico", Inferno, p. 8-9, parece provar que decidir a existência de um endomorfismo não trivial é NP completo. (A questão da endomorfismos-livre de ponto fixo permanece, mas há pouca razão para acreditar que não seria difícil também.)
a3nm