Uma caracterização de profundidade fixa de

Esta é uma pergunta sobre a complexidade do circuito. (As definições estão na parte inferior.)

Yao e Beigel-Tarui mostraram que toda família de circuitos de tamanho s possui uma família de circuitos equivalente de tamanho s p o l y ( log s ) de profundidade dois , em que a porta de saída é uma função simétrica e o segundo nível consiste de Um N D portões de p s l y ( log s $ACC^0$$s$$s^{poly(\log s)}$$AND$$poly(\log s)$fan-in. Este é um "colapso de profundidade" bastante notável de uma família de circuitos: de um circuito de profundidade 100, você pode reduzir a profundidade para 2, com apenas uma explosão quase polinomial (e um portão sofisticado, mas ainda restrito, no topo).

Minha pergunta: existe alguma maneira conhecida de expressar uma família de circuitos , da mesma forma? Mais ambiciosamente, que tal uma família de circuitos N C 1 ? As respostas possíveis teriam a seguinte forma: "Todo circuito T C 0 de tamanho s pode ser reconhecido por uma família de duas profundidades de tamanho f ( s ) , em que a porta de saída é uma função do tipo X e o segundo nível de portas possui o tipo Y " .$TC^0$$NC^1$$TC^0$$s$$f(s)$$X$$Y$

Não precisa ser a profundidade dois, qualquer tipo de resultado de profundidade fixa seria interessante. Provar que todo circuito pode ser representado em profundidade 3 por um circuito que consiste apenas de portas de função simétricas seria muito interessante.$TC^0$

Algumas pequenas observações:

1. Se a resposta é trivial para qualquer função booleana (podemos expressar qualquer função como um ó R de 2 n A N D s). Para concretude, vamos requerer f ( n ) = 2 n o ( 1 ) .$f(n)=2^n$$OR$$2^n$ $AND$$f(n) = 2^{n^{o(1)}}$

2. A resposta também é trivial se é permitido que ou Y seja uma função arbitrária computável em T C 0 ... :) Obviamente, estou interessado em funções "mais simples", o que quer que isso signifique. É um pouco escorregadio de definir porque existem famílias de funções simétricas que são incontestáveis. (Existem linguagens unárias que são incontestáveis.) Se desejar, você pode simplesmente substituir X e Y por funções simétricas na declaração, no entanto, eu estaria interessado em outras opções simples de portões.$X$$Y$$TC^0$$X$$Y$

(Agora, para algumas lembranças breves da notação:

$ACC^0$$AND$$OR$$MOD_m$$m > 1$$MOD_m$$1$$m$

$TC^0$$MAJORITY$

$NC^1$$AND$$OR$$NOT$

$ACC^0 \subseteq TC^0 \subseteq NC^1$

$TC^0$$AC^0$$TC^0$$A$$TC^0$$f$$\sharp AC^0$$k$

$x \in A$$f(x) = 2^{|x|^k}$

$\sharp AC^0$$Z$$x_i$$1-x_i$

Dado que, como Boaz aponta em sua resposta, há uma redução de profundidade não trivial para circuitos aritméticos, isso pode ser algo a se investigar.

$NC^1$

$f:{0,1}^n\rightarrow{0,1}^n$$O(\log n)$$O(n)$$g$$NC_0[n^{\epsilon}]$$f$$2^{n-o(n)}$$f$$g$$NC^1$