Os métodos polinomiais , como os teoremas Combinatorial Nullstellensatz e Chevalley – Warning, são ferramentas poderosas na combinatória aditiva. Ao representar um problema com polinômios adequados, eles podem garantir a existência de uma solução ou o número de soluções para os polinômios. Eles foram usados para resolver problemas como subconjuntos restritos ou problemas de soma zero , e alguns dos teoremas dessa área só podem ser provados por esses métodos.
Para mim, a maneira não construtiva desses métodos é realmente incrível, e estou curioso para saber como podemos aplicar esses métodos para provar inclusões e separações interessantes de classes de complexidade (mesmo que o resultado possa ser resolvido por outros métodos).
Existe algum resultado de complexidade conhecido que possa ser provado por métodos polinomiais?
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Há o resultado de Zeev Dvir no problema de Kakeya de campo finito que foi mencionado neste site anteriormente. Zeev usou o método polinomial para limitar o número de pontos em qualquer conjunto de pontos em F ^ n (campo finito F, n número natural) que contém uma linha em todas as direções. Esse resultado realmente chamou a atenção das pessoas em análise para o método polinomial.
O resultado de Zeev foi motivado pela tarefa de construir extratores de aleatoriedade . Isso faz parte de um grande esforço na ciência da computação teórica para des randomizar algoritmos e, finalmente, mostra que P = BPP e resultados de complexidade semelhantes se mantêm.
Veja mais na pesquisa de Zeev: http://www.math.ias.edu/~dvir/papers/Dvir09b.pdf
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