Dado (iid gaussianos com média e variância ), é possível (como? ) (para ) modo que seja independente em pares gaussianos com média e variância .m = k 2 Y 1 , … , Y m Y i 0 1
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Dado (iid gaussianos com média e variância ), é possível (como? ) (para ) modo que seja independente em pares gaussianos com média e variância .m = k 2 Y 1 , … , Y m Y i 0 1
Respostas:
A postagem no MathOverflow informa como passar de um pequeno número de variáveis aleatórias uniformes independentes [0,1] independentes para um número maior de variáveis aleatórias uniformes [0,1] independentes independentes de pares. É claro que você pode ir e voltar entre Uniforme [0,1] e Gaussian invertendo o CDF. Mas isso requer análise numérica, pois o CDF não é fechado.
No entanto, existe uma maneira mais simples de passar de gaussiano para uniforme. Dado dois Gaussianos independentes , o ângulo arctan ( X 1 / X 2 ) é uniforme no intervalo [ 0 , 2 π ] .X1,X2 arctan(X1/X2) [0,2π]
Da mesma forma, o método Box-Muller transforma duas variáveis uniformes independentes [0,1] em duas variáveis aleatórias gaussianas independentes.
Usando essas duas transformações, você consome dois gaussianos para produzir um uniforme ou dois uniformes para produzir um gaussiano. Portanto, existe apenas um fator de na eficiência da amostragem. Além disso, nenhuma inversão do cdf Normal é necessária.O(1)
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Essa construção NÃO fornece variáveis independentes aos pares (de fato, abaixo), conforme solicitado por Anindya, mas fornece variáveis não correlacionadas aos pares, o que é suficiente para obter bons limites de concentração para a soma através de A desigualdade de Chebyshev (e isso é muitas vezes o objetivo final).|Yi,j|=|Yi,j′|
Para cada par distinto , deixe , onde é a função de sinal. É claro que cada é uma variável normal com média 0 e variância 1. Para ver que são ortogonais, para(i,j)∈([k]2) Yi,j=|Xi|⋅σ(XiXj) σ(⋅) Yi,j (i,j)≠(i′,j′) , observe que
que pode ser facilmente verificada para igual a 0 observando os vários casos de possíveis igualdades entre .i,i',J,J'
PS: Uma versão anterior alegou falsamente a independência aos pares.
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