O melhor recurso para isso é o capítulo do manual de Abramsky e Jung. Lembro que eles tinham uma tabela que fazia referência cruzada a várias construções e categorias de domínios, com as entradas dizendo se a construção funcionava nessa categoria e quais propriedades ela possuía. No entanto, propriedades de flechas como monóticas tendem a não ter caracterizações terrivelmente escorregadias, porque a disponibilidade de domínios planos tende a garantir que elas geralmente não sejam terrivelmente diferentes de suas contrapartes da teoria dos conjuntos. OTOH, propriedades que fazem algum uso da estrutura da ordem (como ser um par de incorporação-projeção) tendem a ter caracterizações bastante bonitas.
Um ponto menor a ser observado é que, na verdade, existem duas definições de CPO em uso comum! Os consumidores da teoria de domínio (como eu) geralmente preferem trabalhar com cadeias ômega, já que cadeias são objetos bastante concretos; enquanto os produtores da teoria de domínio (como, er, seu orientador) tendem a preferir trabalhar com conjuntos direcionados, que são mais gerais e têm melhores propriedades algébricas. (De improviso, não tenho certeza se restringir a conjuntos direcionados com base contável é equivalente à condição da cadeia ômega.)
Algo que achei muito útil na construção desse tipo de dicionário é trabalhar com a solução de equações de domínio recursivas em alguma categoria de coisas que não são exatamente domínios. Duas boas escolhas são categorias de PERs (por exemplo, em modelos de polimorfismo) e pré-ajustes (por exemplo, para alocação de nomes). Os espaços métricos são outra possibilidade, mas eu os achei muito semelhantes aos domínios para me ajudar a criar intuição.
Não tenho certeza se existe um. No entanto, existem muitos bons livros sobre teoria das categorias e ainda mais conjuntos de notas de aula, de qualidade variável. A Wikipedia também possui muitas informações confiáveis sobre teoria de categorias e teoria de domínio . Outro bom recurso da Internet é o nCatLab , embora ele se concentre mais na teoria das categorias de maior dimensão.
Uma boa referência à teoria de domínio é S. Abramsky, A. Jung (1994). "Teoria do domínio". Em S. Abramsky, DM Gabbay, TSE Maibaum, editores, (PDF). Manual de Lógica em Ciência da Computação. III Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 0-19-853762-X.
Os livros sobre teoria das categorias que eu já vi são:
Awodey, Steve (2006). Teoria das categorias (Oxford Logic Guides 49). Imprensa da Universidade de Oxford. 2ª edição, 2010. Uma boa introdução recente, inclinada para a ciência da computação
Michael Barr; Wells, Charles "Teoria da categoria para ciência da computação". Difícil de obter, isto é, não está disponível na Amazon
Lawvere, William; Schanuel, Steve (1997). Matemática conceitual: uma primeira introdução às categorias. Cambridge University Press. Introdução deliciosa, talvez não profunda o suficiente
Mac Lane, Saunders (1998). Categorias para o matemático de trabalho. Textos de Pós-Graduação em Matemática 5 (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Talvez muito matemático
Pierce, Benjamin (1991). Teoria básica das categorias para cientistas da computação. MIT Pressione. Talvez seja muito básico
Taylor, Paul (1999). Fundamentos Práticos da Matemática. Cambridge University Press. Bastante abrangente; tem uma perspectiva lógica
Outros livros estão disponíveis online, como Toposes, triplos e teorias de Barr & Well e Jiri Adámek, Horst Herrlich e Abstract and Concrete Categories de George E. Strecker - The Joy of Cats . É provável que elas contenham todas as definições necessárias, pelo menos do lado da teoria da categoria.
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Que tal perguntar ao seu orientador? Ele inventou uma boa parte da teoria do domínio.
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