Complexidade de decidir se uma família é uma família de Sperner

Recebemos uma família de m subconjuntos de {1, ..., n}. É possível encontrar um limite inferior não trivial à complexidade de decidir se F é uma família Sperner? O limite inferior trivial é O ( n m ) e eu suspeito fortemente que ele não seja rígido.$\mathcal{F}$$m$$\mathcal{F}$$O(n m)$

$\mathcal{S}$$X$$Y$$\mathcal{S}$$X \ne Y$Y ⊈ $X \nsubseteq Y$$Y \nsubseteq X$

Você não pode resolver isso por multiplicação de matrizes? Deixe os conjuntos serem , S 2 , … , S m . Considere a matriz A como a matriz m × n onde A i j = 1 se j ∈ S i e 0 caso contrário, e B como a matriz m × n onde B i j = 1 se j ∉ S i e 0 caso contrário. Agora, A B $S_1$$S_2$$\ldots$$S_m$$A$$m \times n$$A_{ij}=1$$j \in S_i$$B$$m \times n$$B_{ij}=1$$j \notin S_i$$AB^T$tem uma entrada se e somente se houver um conjunto de F contido em outro.$0$$\mathcal{F}$

Portanto, se você provar um limite inferior de para o caso em que m = θ ( n ) , você provou o mesmo limite inferior para multiplicação de matrizes. Este é um famoso problema aberto.$\Omega(n^{2+\epsilon})$$m = \theta(n)$

Não pensei muito nisso, mas não vejo como você possa provar que esse caso particular de multiplicação de matrizes é essencialmente tão difícil quanto o caso geral; se você realmente precisa de um limite inferior, esta parece ser a única esperança que você tem de provar um sem resolver o problema de multiplicação da matriz.

No lado positivo, isso fornece algoritmos para este problema que são melhores que o ingênuo que leva .$\theta(m^2n)$