Qual é a complexidade do estado da linguagem de cópia?

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Deixe um número ser dado. Considere o seguinte idioma L n = {n .Ln={ww|w{0,1}n}

Em palavras, é o conjunto de cadeias de cópia de comprimento 2 n .Ln2n

Considere a seguinte função de complexidade de estado modo que s ( n ) é o número de estados no menor autômato de empilhamento que reconhece L n .ss(n)Ln

Pergunta: Você pode provar formalmente qualquer limite inferior significativo para ?s(n)

Minha conjectura: .s(n)=2Θ(n)

Upperbound conhecido: .s(n)poly(n)2n2

Regras:

(1) O alfabeto da pilha deve ser binário.

(2) A fita de entrada é unidirecional e não pode parar em nenhum caractere de entrada.

Michael Wehar
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Atualmente, não tenho nenhum limite inferior significativo. Parece-me que você poderá provar um limite inferior para o número de variáveis ​​necessárias para um CFG que reconheça o idioma. Embora eu nem tenha certeza disso.
22615 Michael Wehar
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Minha intuição é que, ao enviar caracteres da fita de entrada para a pilha, você se depara com um problema. Se você quiser recuperar esses bits mais tarde, precisará jogar fora todos os bits que empurrou acima dele. Em outras palavras, parece que a pilha não ajuda, porque quanto mais você pressiona, mais você é forçado a esquecer mais tarde.
22715 Michael Wehar
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Observação: para os DFA (autômatos sem pilha), é possível provar um limite inferior da complexidade do estado exponencial.
22715 Michael Wehar
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Você pode mostrar um limite inferior razoável para o problema mais simples de ? {0k1l0k1l}
András Salamon
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Um limite superior mais preciso parece ser estados. (n+3)2n/2
András Salamon

Respostas:

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A técnica descrita por Yuval:

Existe CFG de tamanho polinomial que descreve essa linguagem finita?

(você também pode ler: Limites mais baixos no tamanho dos CFGs para idiomas finitos específicos )

GLnw{0,1}nA(w)s(w)wwn/2np(w)wwn/2w,wA(w)=A(w)p(w)=p(w)2n/2A(w)p(w)2Θ(n)

2Θ(n)Ln

Joseph Stack
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Incrível, obrigado novamente! Eu vejo agora e vou pensar sobre isso para confirmar. :)
Michael Wehar
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[n,2n][n/2,n]
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(A(w),p(w))A(w)wwp(w)
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Veja também o Teorema 7 em meu artigo: cs.toronto.edu/~yuvalf/CFG-LB.pdf .
Yuval Filmus
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@YuvalFilmus Também vale a pena notar que Andras passou um pouco de tempo tentando ajustar os limites superior e inferior. Meu amigo Pepe e eu definimos uma classe geral de linguagens finitas e aplicamos a técnica a elas. Nós nunca escrevemos nada. Se você tiver algum problema relacionado, estaríamos mais do que dispostos a colaborar. Obrigado novamente.
Michael Wehar