Considere um vetor de variáveis e um conjunto de restrições lineares especificado por .
Além disso, considere dois politopos
onde e são mapeamentos afins . Ou seja, eles têm a forma . (Observamos que e são politopos porque são "mapeamentos afins" do politopo .)g
A questão é: como decidir se e são iguais em conjuntos? Qual é a complexidade?
A motivação do problema é das redes de sensores, mas parece ser um problema de geometria adorável (provavelmente básico?). Pode-se resolver isso exptime, possivelmente enumerando todos os vértices de e , mas existe uma abordagem melhor?
Respostas:
Não posso dizer com certeza se você considerará a melhor abordagem a seguir, mas, do ponto de vista teórico da complexidade, há uma solução mais eficiente. A idéia é reformular sua pergunta na teoria de primeira ordem dos racionais com adição e ordem. Você tem que está incluído em P 2 se e somente se Φ : = ∀ → x . ∃ → y . ( A ⋅ → x ≤ bP1 P2
é válido. É claro como a equivalência derivam deP1eP2da mesma maneira. AgoraΦpossui um prefixo fixo de quantificação-alternância e, consequentemente, é decidível emΠP2, o segundo nível da hierarquia polinomial-temporal (Sontag, 1985
Se você estiver procurando por suporte de ferramentas para resolver esses problemas na prática, os solucionadores de SMT modernos, como o z3, apoiam totalmente essa teoria.
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