Quais parâmetros do gráfico NÃO estão concentrados em gráficos aleatórios?

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É sabido que muitos parâmetros gráficos importantes mostram concentração (forte) em gráficos aleatórios, pelo menos em alguma faixa da probabilidade da aresta. Alguns exemplos típicos são: número cromático, clique máximo, conjunto independente máximo, correspondência máxima, número de domínio, número de cópias de um subgráfico fixo, diâmetro, grau máximo, número de escolha (número de coloração da lista), número de Lovasz , largura da árvore, etc.θ

Pergunta: Quais são as exceções, isto é, parâmetros gráficos significativos que não estão concentrados em gráficos aleatórios?

Editar. Uma definição possível de concentração é esta:

Seja um parâmetro de gráfico em gráficos aleatórios n -vertex. Chamamos-lhe concentrada , se para cada ε > 0 , ele sustenta que lim n Pr ( ( 1 - ε ) E ( X n ) X n( 1 + ε ) E ( X n ) ) = 1. A concentração é forteXnnϵ>0

limnPr((1ϵ)E(Xn)Xn(1+ϵ)E(Xn))=1
, se a probabilidade se aproximar de 1 a uma taxa exponencial. Mas às vezes forte é usado em um sentido diferente, referindo-se ao fato de que a convergência permanece verdadeira com um intervalo de encolhimento, produzindo uma faixa possivelmente muito estreita. Por exemplo, se é o grau mínimo, em seguida, por alguma gama da probabilidade borda p , pode-se provar lim n Pr (E ( X n ) X nE ( X n ) ) = 1Xnp
limnPr(E(Xn)XnE(Xn))=1
qual é o intervalo mais curto possível (como o grau é inteiro, mas o valor esperado pode não ser).

Xn=n

Andras Farago
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Por favor, dê a definição de forte concentração em gráficos aleatórios.
Mohammad Al-Turkistany
Provavelmente, a definição é "probabilidade muito alta (1-exp) de que o parâmetro esteja em um intervalo (pequeno) específico".
Suresh Venkat
@ MohammadAl-Turkistany Editei a pergunta para incluir uma definição.
Andras Farago
possivelmente propriedades binárias simples como conectividade? ou talvez a idéia seja excluir propriedades binárias? acho que isso talvez precise de uma melhor análise do modelo de gráfico aleatório. para gráficos erdos-renyi (não é isso que você tem em mente?), a conectividade em si passa por um fenômeno de limiar.
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HH

Respostas:

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Muitos parâmetros do maior componente conectado não estão concentrados para G(n,p) E se p=1/n e mais geralmente se pestá na janela crítica. Exemplos são o diâmetro e o tamanho do maior componente, o tamanho do segundo maior componente, o número de folhas que o componente possui etc.

Veja por exemplo

Aldous, David. "Excursões brownianas, gráficos aleatórios críticos e o coalescente multiplicativo". The Annals of Probability (1997): 812-854.

Nachmias, Asaf e Yuval Peres. "Gráficos aleatórios críticos: diâmetro e tempo de mistura." Os Anais da Probabilidade 36, n. 4 (2008): 1267-1286.

Addario-Berry, Louigi, Nicolas Broutin e Christina Goldschmidt. "O limite contínuo de gráficos aleatórios críticos." Teoria da Probabilidade e Campos Relacionados 152, no. 3-4 (2012): 367-406.

Yuval Peres
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A falta de concentração acontece em algumas contagens (#P) propriedades, e talvez para muitas delas.

Um exemplo simples é o número de subgráficos de abrangência (2m) O número de arestas de um gráfico aleatório flutua em±Θ(n) portanto, o número de subgráficos de abrangência flutua por um fator de 2Θ(n)bem longe do (1+ϵ) fator que você está usando em sua definição de concentração.

Para mostrar que este não é um exemplo isolado, aqui está um argumento (não totalmente rigoroso, mas possivelmente capaz de ser rigoroso) sobre por que a falta de concentração também deve ser verdadeira quanto ao número de ciclos hamiltonianos. O valor esperado desse número é claramente(n-1)!/2n+1: cada um dos (n-1)!/2 seqüências cíclicas de vértices tem um 1/2nchance de realmente ser um ciclo hamiltoniano. Por um argumento semelhante, a quantidade esperada de alteração nesse número causada pela introdução de uma nova margem seria(n-2)!/2n-1, menor por um fator linear. Se o número de ciclos hamiltonianos estivesse fortemente concentrado, a maioria dos flips de borda causaria uma quantidade de alteração nesse número que se aproxima do valor esperado. Mas então oΘ(n) a flutuação no número de arestas causaria uma flutuação no número de ciclos hamiltonianos proporcional ao valor esperado, contradizendo a hipótese de forte concentração.

Outros candidatos plausíveis à falta de concentração incluem o número de cores (partições dos vértices em conjuntos independentes), número de combinações ou combinações perfeitas ou número de árvores que medem.

David Eppstein
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Estes são realmente exemplos interessantes. Aparentemente, todos eles exigem parâmetros que podem ser exponencialmente grandes emn. Gostaria de saber se existe algum parâmetro significativo não concentrador entre aqueles que são delimitados por um polinômio do tamanho do gráfico?
Andras Farago
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It would also be of interest to find natural properties that are non-concentrated even in the G(n,m) model of random graphs; the ones in this answer work only for G(n,p).
David Eppstein
David's "counting argument" answers are always so insightful to me. :D
Daniel Apon