Desigualdade de concentração exponencial para momentos de ordem superior de variáveis ​​aleatórias gaussianas

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Deixe ser cópias iid de Gaussian variável aleatória . Sabe-se que Esses dois resultados decorrem da desigualdade de concentração das variáveis ​​aleatórias sub-Gaussianas e sub-exponenciais e o segundo é uma desigualdade do tipo Bernstein. Gostaria de saber se existem resultados semelhantes para os momentos mais altos das variáveis ​​aleatórias gaussianas. Alguém pode ter X1,,XnnXN(0,σ2)P ( | 1

P(|1nj=1nXj|>t)2exp(cnt2)  andP(|1nj=1n(Xj2EXj2)|>t)2exp(cnmin{t2,t}).
P(|1nj=1n(Xj4EXj4)|>t)2exp(cnt)?
E, geralmente, para uma variável aleatória centralizada Y satisfazendo P(|Y|>t)2exp(ctα) para α>0 , podemos obter uma desigualdade exponencial para a concentração de i=1nYi ? Ou seja, podemos ter
P(|1nj=1n(YjEYj)|>t)2exp(cntβ)
para alguns β>0
Steve
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Respostas:

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Veja o Teorema 23 na Seção 9.3 do livro de Ryan O'Donnell, Análise das funções booleanas . Embora o teorema indicado para as variáveis seja válido também para os gaussianos (consulte o capítulo 10 do livro para obter detalhes sobre isso).±1

Para uma declaração mais geral, consulte o Exercício 7 nestas anotações de Terry Tao .

Yuval Filmus
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Desculpe, a declaração anterior da pergunta não está correta. Agora eu fiz algumas correções. E o que podemos dizer para variáveis aleatórias mais gerais com algum comportamento cauda decadente?
Steve
Sua pergunta mais geral é abordada nas notas de aula de Terry Tao.
Yuval Filmus