Seja uma linguagem, então definimos a congruência sintática como e o quociente monoid é chamado o monoid sintática de .
Agora, quais monoides surgem como monoides sintáticos de idiomas? Encontrei idiomas para grupos simétricos e para o conjunto de todos os mapeamentos em algum conjunto finito subjacente. Mas e quanto a outros, existem monóides finitos que não poderiam ser escritos como o monóide sintático de alguma linguagem?
Para um dado autômato, considerando o monóide gerado pelos mapeamentos induzidos pelas letras nos estados (o chamado monóide de transformação) quando a composição da função é lida da esquerda para a direita, sustenta que o monóide de transformação do autômato mínimo é precisamente o monóide sintático. Essa observação me ajudou a construir os exemplos mencionados acima.
Não me permita também que seja bastante simples perceber qualquer monóide finito como o monóide de transformação de algum autômato, simplesmente pegue os elementos de como estados e considere cada gerador de como uma letra do alfabeto e as transições são dadas por para algum estado e letra , o monóide de transformação é isomórfico ao próprio (isso é semelhante ao teorema de Cayley sobre como os grupos se incorporam em grupos simétricos).
Respostas:
Parece que há um papel de responder a esta pergunta exata, e mesmo no caso mais geral de línguas -Regular, mas não consigo encontrar uma versão de acesso aberto. Se alguém encontrar um link sem paywall, seria ótimo. Solicitei o texto completo no ResearchGate.ω
Título : Quais monóides finitos são monóides sintáticos das línguas ômega-racional .
Autores : Phan Trung Huy, Igor Litovsky, Do Long Van
Resumo : Uma noção de conjuntos ω-rígidos para um monóide finito é introduzida. Provamos que um monóide finito M é o monóide sintático de Arnold de alguma linguagem ω racional (ω-sintática para abreviar) se e somente se existir um conjunto ω-rígido para M. Essa propriedade é mostrada como determinável para os monóides finitos . A relação entre a família de monóides ω-sintáticos e a dos monoides ∗-sintáticos (isto é, os monóides sintáticos de linguagens racionais de palavras finitas) é estabelecida.
Além disso, a página da Wikipedia sobre monóides sintáticos afirma:
[1] McNaughton, Robert; Papert, Seymour (1971). Autômatos sem contador. Monografia de pesquisa 65. Com um apêndice de William Henneman. MIT Pressione. p. 48. ISBN 0-262-13076-9. Zbl 0232.94024.
[2] Lawson (2004), p.
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De uma maneira mais elementar que a resposta de Denis, o seguinte é extraído de "Theories of Computability" de Pippenger, p.87, e verificação imediata.
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